日本女子大学
2013年 理学部 第1問
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![下の図のように,F_1を1辺の長さが1の正三角形とする.F_1の3つの辺のそれぞれを3等分し3つの線分に分ける.この3つの線分の中央の線分に,その線分を1辺とする正三角形をF_1の外側に追加して得られる多角形をF_2とする.次に,F_2の12個の辺のそれぞれを3等分し3つの線分に分ける.この3つの線分の中央の線分に,その線分を1辺とする正三角形をF_2の外側に追加して得られる多角形をF_3とする.以下同様にして,F_4,F_5,F_6,・・・を作るものとする.F_nの辺の個数をK_n,周の長さをL_n,面積をS_nとする.(プレビューでは図は省略します)(1)K_n(n≧1)を求めよ.(2)L_n(n≧1)を求めよ.(3)S_1とS_n-S_{n-1}(n≧2)を求めよ.(4)S_n(n≧1)を求めよ.(5)数列{L_n}の極限を調べよ.\mon数列{S_n}の極限を調べよ.](./thumb/280/2171/2013_1.png)
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下の図のように,$F_1$を$1$辺の長さが$1$の正三角形とする.$F_1$の$3$つの辺のそれぞれを$3$等分し$3$つの線分に分ける.この$3$つの線分の中央の線分に,その線分を$1$辺とする正三角形を$F_1$の外側に追加して得られる多角形を$F_2$とする.次に,$F_2$の$12$個の辺のそれぞれを$3$等分し$3$つの線分に分ける.この$3$つの線分の中央の線分に,その線分を$1$辺とする正三角形を$F_2$の外側に追加して得られる多角形を$F_3$とする.以下同様にして,$F_4,\ F_5,\ F_6,\ \cdots$を作るものとする.$F_n$の辺の個数を$K_n$,周の長さを$L_n$,面積を$S_n$とする.
\imgc{280_2171_2013_1}
(1) $K_n \ \ (n \geqq 1)$を求めよ.
(2) $L_n \ \ (n \geqq 1)$を求めよ.
(3) $S_1$と$S_n-S_{n-1} \ \ (n \geqq 2)$を求めよ.
(4) $S_n \ \ (n \geqq 1)$を求めよ.
(5) 数列$\{L_n\}$の極限を調べよ. 数列$\{S_n\}$の極限を調べよ.
(1) $K_n \ \ (n \geqq 1)$を求めよ.
(2) $L_n \ \ (n \geqq 1)$を求めよ.
(3) $S_1$と$S_n-S_{n-1} \ \ (n \geqq 2)$を求めよ.
(4) $S_n \ \ (n \geqq 1)$を求めよ.
(5) 数列$\{L_n\}$の極限を調べよ. 数列$\{S_n\}$の極限を調べよ.
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コメント(2件)
![]() 作りました。周の長さは無限大まで増えていきますが、面積は収束するという性質が問題から分かります。 |
![]() 解答よろしくお願いします |
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