金沢大学
2015年 理系 第2問
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関数$f(x)=xe^x$について,次の問いに答えよ.
(1) 関数$y=f(x)$について,増減および凹凸を調べ,そのグラフをかけ.ただし,必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}xe^x=0$を用いてもよい.
(2) 不定積分$\displaystyle \int xe^x \, dx$,$\displaystyle \int x^2e^{2x} \, dx$をそれぞれ求めよ.
(3) $0 \leqq t \leqq 1$に対し$g(x)=f(x)-f(t)$とおく.$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で,曲線$y=g(x)$と$x$軸ではさまれる部分を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V(t)$とする.$V(t)$を求めよ.
(4) $(3)$の$V(t)$が最小値をとるときの$t$の値を$a$とする.最小値$V(a)$と,$f(a)$の値を求めよ.ただし,$a$の値を求める必要はない.
(1) 関数$y=f(x)$について,増減および凹凸を調べ,そのグラフをかけ.ただし,必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}xe^x=0$を用いてもよい.
(2) 不定積分$\displaystyle \int xe^x \, dx$,$\displaystyle \int x^2e^{2x} \, dx$をそれぞれ求めよ.
(3) $0 \leqq t \leqq 1$に対し$g(x)=f(x)-f(t)$とおく.$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で,曲線$y=g(x)$と$x$軸ではさまれる部分を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V(t)$とする.$V(t)$を求めよ.
(4) $(3)$の$V(t)$が最小値をとるときの$t$の値を$a$とする.最小値$V(a)$と,$f(a)$の値を求めよ.ただし,$a$の値を求める必要はない.
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