$a,\ b$を実数の定数とし，$3$つの行列 \[ A=\left( \begin{array}{rr} 3 & -2 \\ a & 1 \end{array} \right),\quad R=\frac{1}{2} \left( \begin{array}{rr} 5 & -4 \\ 6 & -5 \end{array} \right),\quad Q=\left( \begin{array}{cc} \displaystyle \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & b \end{array} \right) \] は$AR=QA$を満たしている．次の$\fbox{}$をうめよ．
$AR=QA$を満たす$a$の値は$2$つある．そのうち，$A$が逆行列をもたないのは，$a=\fbox{$\maruichi$}$のときであり，このとき，$b=\fbox{$\maruni$}$である．$A$が逆行列$A^{-1}$をもつのは，$a=\fbox{$\marusan$}$のときであり，このとき，$A^{-1}=\fbox{$\marushi$}$，$b=\fbox{$\marugo$}$である．
$n$を$2$以上の自然数として， \[ S_n=A+AR+AR^2+\cdots +AR^{n-1} \] とおく．$AR=QA$であるから，$S_n$は実数$x_n,\ y_n$を用いて \[ S_n=\left( \begin{array}{cc} x_n & 0 \\ 0 & y_n \end{array} \right) A \] と表される．
$a=\fbox{$\marusan$}$のときは，$x_n=\fbox{$\maruroku$}$，$y_n=\fbox{$\marushichi$}$である．したがって，$E$を単位行列として， \[ E+R+R^2+\cdots +R^{n-1}=\left( \begin{array}{cc} p_n & q_n \\ r_n & s_n \end{array} \right) \] とおくと，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n=\fbox{$\maruhachi$}$である．