$A=\left( \begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array} \right) \ \ (b \neq 0)$が表す$1$次変換を$f$とする．点$\mathrm{P}(c,\ 0) \ \ (c>0)$を考える．次の問いに答えよ．
(1) 次の$\fbox{$\maruichi$}$から$\fbox{$\marushi$}$を数値でうめよ．
点$\mathrm{Q}(3,\ 4)$を，点$\mathrm{R}(1,\ 2)$を中心として反時計まわりに$\displaystyle \frac{\pi}{3}$だけ回転した点の座標は \[ \left( \begin{array}{rr} \displaystyle \cos \frac{\pi}{3} & \displaystyle -\sin \frac{\pi}{3} \\ \\ \displaystyle \sin \frac{\pi}{3} & \displaystyle \cos \frac{\pi}{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3-\fbox{$\maruichi$} \\ \\ 4-\fbox{$\maruni$} \end{array} \right)+\left( \begin{array}{c} \fbox{$\maruichi$} \\ \\ \fbox{$\maruni$} \end{array} \right) \] を計算することにより，$(\fbox{$\marusan$},\ \fbox{$\marushi$})$である．
(2) $B=\left( \begin{array}{rr} \displaystyle \cos \frac{\pi}{3} & \displaystyle -\sin \frac{\pi}{3} \\ \displaystyle \sin \frac{\pi}{3} & \displaystyle \cos \frac{\pi}{3} \end{array} \right)$，$V=\left( \begin{array}{c} c \\ 0 \end{array} \right)-A \left( \begin{array}{c} c \\ 0 \end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)$とおく．
点$\mathrm{P}$を，点$f(\mathrm{P})$を中心として反時計まわりに$\displaystyle \frac{\pi}{3}$だけ回転した点が$(f \circ f)(\mathrm{P})$と一致するという条件を$A,\ B,\ V,\ O$を用いて表すと，$(\fbox{$\marugo$})V=O$と表すことができる．$A$と$B$を用いて$\fbox{$\marugo$}$をうめよ．
(3) $3$点$\mathrm{P}$，$f(\mathrm{P})$，$(f \circ f)(\mathrm{P})$が正三角形の$3$つの頂点をなすとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4) $(3)$の正三角形の$1$辺の長さが$1$になるとき，$c$の値を求めよ．