埼玉大学
2016年 工学部 第3問
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![次の問いに答えよ.(1)f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}とする.x>0の範囲でf(x)が最小になるxの値と,そのときのf(x)の値を求めよ.(2)a>0とする.曲線C:y=1/x(x>0)と2つの直線ℓ_1:y=2e^ax,ℓ_2:y=(a^2+3a+1)xを考える.Cとℓ_1とℓ_2で囲まれる部分をDとする.\mon[(ア)]Cとℓ_1の交点,および,Cとℓ_2の交点の座標を求めよ.\mon[(イ)](1)を用いて2e^a>a^2+3a+1であることを示せ.ただし,e=2.7182・・・であることは用いてよい.\mon[(ウ)]Dの面積をaを用いて表せ.\mon[(エ)]Dの面積を最小にするaの値と,そのときのDの面積を求めよ.](./thumb/118/1352/2016_3.png)
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次の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする.$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と,そのときの$f(x)$の値を求めよ.
(2) $a>0$とする.曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} \ \ (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$,$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える.$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする.
[(ア)] $C$と$\ell_1$の交点,および,$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ. [(イ)] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ.ただし,$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい. [(ウ)] $D$の面積を$a$を用いて表せ. [(エ)] $D$の面積を最小にする$a$の値と,そのときの$D$の面積を求めよ.
(1) $\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする.$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と,そのときの$f(x)$の値を求めよ.
(2) $a>0$とする.曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} \ \ (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$,$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える.$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする.
[(ア)] $C$と$\ell_1$の交点,および,$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ. [(イ)] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ.ただし,$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい. [(ウ)] $D$の面積を$a$を用いて表せ. [(エ)] $D$の面積を最小にする$a$の値と,そのときの$D$の面積を求めよ.
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