星薬科大学
2015年 薬学部 第5問
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![一辺の長さが1の正五角形A_1B_1C_1D_1E_1がある.下図のように,この正五角形の対角線で囲まれて作られる正五角形をA_2B_2C_2D_2E_2とし,さらにこの正五角形の対角線で囲まれた正五角形をA_3B_3C_3D_3E_3とする.この操作を繰り返すことにより正五角形A_nB_nC_nD_nE_n(n=1,2,3,・・・)を作ることにする.正五角形A_nB_nC_nD_nE_nの周の長さは[37]×(\frac{[38]-\sqrt{[39]}}{[40]})^{n-1}である.また,正五角形A_nB_nC_nD_nE_nの面積は\frac{\sqrt{[41][42]+[43][44]\sqrt{[45]}}}{[46]}×(\frac{[47]-[48]\sqrt{[49]}}{[50]})^{n-1}である.](./thumb/289/2274/2015_5.png)
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一辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1 \mathrm{E}_1$がある.下図のように,この正五角形の対角線で囲まれて作られる正五角形を$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2 \mathrm{E}_2$とし,さらにこの正五角形の対角線で囲まれた正五角形を$\mathrm{A}_3 \mathrm{B}_3 \mathrm{C}_3 \mathrm{D}_3 \mathrm{E}_3$とする.この操作を繰り返すことにより正五角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{E}_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を作ることにする.正五角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{E}_n$の周の長さは
\[ \fbox{$37$} \times \left( \frac{\fbox{$38$}-\sqrt{\fbox{$39$}}}{\fbox{$40$}} \right)^{n-1} \]
である.また,正五角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{E}_n$の面積は
\[ \frac{\sqrt{\fbox{$41$}\fbox{$42$}+\fbox{$43$}\fbox{$44$} \sqrt{\fbox{$45$}}}}{\fbox{$46$}} \times \left( \frac{\fbox{$47$}-\fbox{$48$} \sqrt{\fbox{$49$}}}{\fbox{$50$}} \right)^{n-1} \]
である.
コメント(2件)
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