獨協大学
2014年 文系 第1問
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次の設問の空欄を,あてはまる数値や記号,式などで埋めなさい.
(1) $2$次関数$y=x^2-6x+7$のグラフは$y=x^2+2x+2$のグラフを,$x$軸方向に$\fbox{$1$}$,$y$軸方向に$\fbox{$2$}$だけ平行移動したものである.
(2) 次の式の分母を有理化せよ. \[ \tokeiichi \ \ \frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\fbox{$3$} \qquad \tokeini \ \ \frac{5 \sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\fbox{$4$} \]
(3) $2$点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$,$\mathrm{B}(5,\ 2)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{C}(\fbox{$5$},\ \fbox{$6$})$を通り,線分$\mathrm{AB}$に垂直な直線の方程式は$\fbox{$7$}$と表される.
(4) 数列$\{a_n\}$が$2,\ 3,\ 7,\ 14,\ 24,\ \cdots$のように与えられている.その階差数列を$\{b_n\}$とする.このとき,$b_1=\fbox{$8$}$,$b_2=\fbox{$9$}$であり,数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\fbox{$10$}$と表される.よって,数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\fbox{$11$}$となる.
(5) $x+y=20$,$x>0$,$y>0$であるとき,$\log_{\frac{1}{10}}x+\log_{\frac{1}{10}}y$の最小値は$\fbox{$12$}$である. 各辺の長さが$\mathrm{AB}=1$,$\mathrm{BC}=2$,$\mathrm{CA}=k$である$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は,$k=\fbox{$13$}$のとき最大値$\fbox{$14$}$をとる. $2$つのベクトル$\overrightarrow{x}=(a,\ b)$,$\overrightarrow{y}=(1,\ c)$について,$\overrightarrow{x} \perp \overrightarrow{y}$,$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|=2$,$abc=-1$を満たす実数$a,\ b,\ c$の組合せは$\fbox{$15$}$通り存在する.また,このうち$a+b+c$の最小値は$\fbox{$16$}$となる. $2$人の男性$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$と$2$人の女性$\mathrm{a}$,$\mathrm{b}$がいる.この$4$人は無作為に異性を$1$人ずつ選ぶ.このとき,男性が選んだ女性がその男性を選べば,その男女をペアとする.たとえば,男性$\mathrm{A}$が女性$\mathrm{a}$を選び,女性$\mathrm{a}$も男性$\mathrm{A}$を選べば,その男女はペアとなる.このとき,ペアが全くできない確率は$\fbox{$17$}$,ペアがちょうど$1$組だけできる確率は$\fbox{$18$}$,ペアが$2$組できる確率は$\fbox{$19$}$である.
(1) $2$次関数$y=x^2-6x+7$のグラフは$y=x^2+2x+2$のグラフを,$x$軸方向に$\fbox{$1$}$,$y$軸方向に$\fbox{$2$}$だけ平行移動したものである.
(2) 次の式の分母を有理化せよ. \[ \tokeiichi \ \ \frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\fbox{$3$} \qquad \tokeini \ \ \frac{5 \sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\fbox{$4$} \]
(3) $2$点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$,$\mathrm{B}(5,\ 2)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{C}(\fbox{$5$},\ \fbox{$6$})$を通り,線分$\mathrm{AB}$に垂直な直線の方程式は$\fbox{$7$}$と表される.
(4) 数列$\{a_n\}$が$2,\ 3,\ 7,\ 14,\ 24,\ \cdots$のように与えられている.その階差数列を$\{b_n\}$とする.このとき,$b_1=\fbox{$8$}$,$b_2=\fbox{$9$}$であり,数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\fbox{$10$}$と表される.よって,数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\fbox{$11$}$となる.
(5) $x+y=20$,$x>0$,$y>0$であるとき,$\log_{\frac{1}{10}}x+\log_{\frac{1}{10}}y$の最小値は$\fbox{$12$}$である. 各辺の長さが$\mathrm{AB}=1$,$\mathrm{BC}=2$,$\mathrm{CA}=k$である$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は,$k=\fbox{$13$}$のとき最大値$\fbox{$14$}$をとる. $2$つのベクトル$\overrightarrow{x}=(a,\ b)$,$\overrightarrow{y}=(1,\ c)$について,$\overrightarrow{x} \perp \overrightarrow{y}$,$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|=2$,$abc=-1$を満たす実数$a,\ b,\ c$の組合せは$\fbox{$15$}$通り存在する.また,このうち$a+b+c$の最小値は$\fbox{$16$}$となる. $2$人の男性$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$と$2$人の女性$\mathrm{a}$,$\mathrm{b}$がいる.この$4$人は無作為に異性を$1$人ずつ選ぶ.このとき,男性が選んだ女性がその男性を選べば,その男女をペアとする.たとえば,男性$\mathrm{A}$が女性$\mathrm{a}$を選び,女性$\mathrm{a}$も男性$\mathrm{A}$を選べば,その男女はペアとなる.このとき,ペアが全くできない確率は$\fbox{$17$}$,ペアがちょうど$1$組だけできる確率は$\fbox{$18$}$,ペアが$2$組できる確率は$\fbox{$19$}$である.
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