四面体$\mathrm{ABCD}$において，底面の$\triangle \mathrm{BCD}$は$1$辺の長さが$2$の正三角形であり，$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD}=\angle \mathrm{DAB}=90^\circ$である．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．
(1) $\mathrm{DA}=\sqrt{\fbox{ア}}$である．
(2) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DM}}$について，$\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}=\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}}=\fbox{イ}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DM}}=\fbox{ウ}$である．
(3) $\displaystyle \cos \angle \mathrm{ADM}=\frac{\sqrt{\fbox{エ}}}{\fbox{オ}}$である．
(4) $\triangle \mathrm{BCD}$を底面とする四面体$\mathrm{ABCD}$の高さは$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{カ}}}{\fbox{キ}}$である．
(5) 四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{ク}}}{\fbox{ケ}}$である．