京都薬科大学
2015年 薬学部 第1問
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次の$\fbox{}$にあてはまる数または式を記入せよ.
(1) $2$次関数$f(x)=ax^2+bx+2a^2$は,$x=-1$で最大値をとり,$f(1)=14$を満たす.このとき,$a=\fbox{ア}$,$b=\fbox{イ}$で,$f(x)$の最大値は$\fbox{ウ}$である.
(2) $1$つのさいころを$1$の目が出るまで投げ続ける.ただし,投げる回数は最大$100$回とする.このとき,ちょうど$n$回($n<100$)投げてやめる確率は$\fbox{エ}$で,投げる回数が$n$回以下($n<100$)でやめる確率は$\fbox{オ}$である.また,$1$の目が$2$回出るまで投げ続けるとき(最大$100$回),投げる回数が$n$回以下($n<100$)でやめる確率は$\fbox{カ}$である.
(3) 平面上の$\triangle \mathrm{OAB}$において,$\mathrm{OA}=4$,$\mathrm{OB}=3$,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3}$が成立しているとする.このとき,$\mathrm{AB}=\fbox{キ}$である.また,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表し,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{5}{2} \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$を満たす点$\mathrm{C}$をとれば,$\mathrm{AC}=\fbox{ク}$,$\cos \angle \mathrm{BAC}=\fbox{ケ}$が成立する.
(4) 不等式$\sin 2\theta+\sin 4\theta>\sin 3\theta$を満たす$\theta$の範囲は$\fbox{コ}<\theta<\fbox{サ}$および$\fbox{シ}<\theta<\fbox{ス}$である.ただし,$0<\theta<\pi$とする.
(5) ある正の数$a$を底としたときの,$2$と$5$の対数の近似値がそれぞれ$\log_a 2=0.693$,$\log_a 5=1.609$であるとする.また,$\sqrt[4]{10}=1.778$とする.指数関数$y=pa^{-qx}$($p,\ q$は正の数)において,$x=1$のとき$y=10$,$x=5$のとき$y=1$となるならば,$p=\fbox{セ}$,$q=\fbox{ソ}$である.また,$y$がちょうど$p$の半分となるときの$x$の値は$\fbox{タ}$である.なお,解答は小数点以下$2$桁で示すこと(必要ならば小数第$3$位を四捨五入せよ).
(1) $2$次関数$f(x)=ax^2+bx+2a^2$は,$x=-1$で最大値をとり,$f(1)=14$を満たす.このとき,$a=\fbox{ア}$,$b=\fbox{イ}$で,$f(x)$の最大値は$\fbox{ウ}$である.
(2) $1$つのさいころを$1$の目が出るまで投げ続ける.ただし,投げる回数は最大$100$回とする.このとき,ちょうど$n$回($n<100$)投げてやめる確率は$\fbox{エ}$で,投げる回数が$n$回以下($n<100$)でやめる確率は$\fbox{オ}$である.また,$1$の目が$2$回出るまで投げ続けるとき(最大$100$回),投げる回数が$n$回以下($n<100$)でやめる確率は$\fbox{カ}$である.
(3) 平面上の$\triangle \mathrm{OAB}$において,$\mathrm{OA}=4$,$\mathrm{OB}=3$,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3}$が成立しているとする.このとき,$\mathrm{AB}=\fbox{キ}$である.また,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表し,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{5}{2} \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$を満たす点$\mathrm{C}$をとれば,$\mathrm{AC}=\fbox{ク}$,$\cos \angle \mathrm{BAC}=\fbox{ケ}$が成立する.
(4) 不等式$\sin 2\theta+\sin 4\theta>\sin 3\theta$を満たす$\theta$の範囲は$\fbox{コ}<\theta<\fbox{サ}$および$\fbox{シ}<\theta<\fbox{ス}$である.ただし,$0<\theta<\pi$とする.
(5) ある正の数$a$を底としたときの,$2$と$5$の対数の近似値がそれぞれ$\log_a 2=0.693$,$\log_a 5=1.609$であるとする.また,$\sqrt[4]{10}=1.778$とする.指数関数$y=pa^{-qx}$($p,\ q$は正の数)において,$x=1$のとき$y=10$,$x=5$のとき$y=1$となるならば,$p=\fbox{セ}$,$q=\fbox{ソ}$である.また,$y$がちょうど$p$の半分となるときの$x$の値は$\fbox{タ}$である.なお,解答は小数点以下$2$桁で示すこと(必要ならば小数第$3$位を四捨五入せよ).
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