旭川医科大学
2016年 医学部 第2問
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原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円周上に$\mathrm{A}(-1,\ 0)$,$\mathrm{B}(1,\ 0)$,および$y>0$を満たす動点$\mathrm{C}(x,\ y)$がある.$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とするとき,次の問いに答えよ.ただし,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.
(1) $\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表せ.
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の内接円$\mathrm{O}_1$の半径$r_1$を$\theta$を用いて表せ.
(3) $x$軸,辺$\mathrm{AC}$の延長線,および辺$\mathrm{BC}$とそれぞれ接する円$\mathrm{O}_2$を考える.$x$軸上の接点を$\mathrm{D}$,辺$\mathrm{AC}$の$\mathrm{C}$側の延長上の接点を$\mathrm{E}$,そして辺$\mathrm{BC}$上の接点を$\mathrm{F}$とする.
(ⅰ) $\mathrm{AD}$の長さを$\theta$を用いて表せ.
(ⅱ) 円$\mathrm{O}_2$の半径$r_2$を$\theta$を用いて表せ.
(ⅲ) 円$\mathrm{O}_1$の中心を$\mathrm{I}$,円$\mathrm{O}_2$の中心を$\mathrm{J}$とする.$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}=2$となるとき,$\triangle \mathrm{OIJ}$の面積を求めよ.
(1) $\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表せ.
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の内接円$\mathrm{O}_1$の半径$r_1$を$\theta$を用いて表せ.
(3) $x$軸,辺$\mathrm{AC}$の延長線,および辺$\mathrm{BC}$とそれぞれ接する円$\mathrm{O}_2$を考える.$x$軸上の接点を$\mathrm{D}$,辺$\mathrm{AC}$の$\mathrm{C}$側の延長上の接点を$\mathrm{E}$,そして辺$\mathrm{BC}$上の接点を$\mathrm{F}$とする.
(ⅰ) $\mathrm{AD}$の長さを$\theta$を用いて表せ.
(ⅱ) 円$\mathrm{O}_2$の半径$r_2$を$\theta$を用いて表せ.
(ⅲ) 円$\mathrm{O}_1$の中心を$\mathrm{I}$,円$\mathrm{O}_2$の中心を$\mathrm{J}$とする.$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}=2$となるとき,$\triangle \mathrm{OIJ}$の面積を求めよ.
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