早稲田大学
2010年 スポーツ科学学部 第2問
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次の問いに答えよ.
(1) 自然数$n$が$n=p^2q$($p,\ q$は素数,$p \neq q$)の形で表されるとき,$n$の正の約数は$6$個あり,それらの和は \[ (\fbox{ク}+p+p^2)(\fbox{ケ}+q) \] と表すことができる.このような$n$で正の約数の和が$2n$となるような数を求める.正の約数の和が$2n$であるから, \[ 2p^2q=(\fbox{ク}+p+p^2)(\fbox{ケ}+q) \] が成り立つ.$\fbox{ク}+p+p^2$は奇数であり,$p$の倍数ではないから,$\fbox{ケ}+q$は$2p^2$の倍数となり, \[ \fbox{ケ}+q=2p^2k \quad (k \text{は自然数}) \] とおける.したがって, \[ q=(\fbox{ク}+p+p^2)k \] となるが,$q$は素数であるから,$k=\fbox{コ}$である.よって \[ p^2-p-\fbox{サ}=0 \] これを解いて,$p=\fbox{シ}$である.ゆえに$n=\fbox{ス}$である.
(2) 条件 \[ a_1=3,\quad a_{n+1}=\frac{3a_n+2}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定められる数列$\{a_n\}$に対して,$\displaystyle b_n=\frac{a_n-2}{a_n+1}$とおくと,数列$\{b_n\}$は等比数列となり,これより,数列$\{a_n\}$の一般項は \[ a_n=\frac{\fbox{セ} \cdot \fbox{ソ}^n+\fbox{タ}}{\fbox{チ}^n-\fbox{ツ}} \] となる.
(1) 自然数$n$が$n=p^2q$($p,\ q$は素数,$p \neq q$)の形で表されるとき,$n$の正の約数は$6$個あり,それらの和は \[ (\fbox{ク}+p+p^2)(\fbox{ケ}+q) \] と表すことができる.このような$n$で正の約数の和が$2n$となるような数を求める.正の約数の和が$2n$であるから, \[ 2p^2q=(\fbox{ク}+p+p^2)(\fbox{ケ}+q) \] が成り立つ.$\fbox{ク}+p+p^2$は奇数であり,$p$の倍数ではないから,$\fbox{ケ}+q$は$2p^2$の倍数となり, \[ \fbox{ケ}+q=2p^2k \quad (k \text{は自然数}) \] とおける.したがって, \[ q=(\fbox{ク}+p+p^2)k \] となるが,$q$は素数であるから,$k=\fbox{コ}$である.よって \[ p^2-p-\fbox{サ}=0 \] これを解いて,$p=\fbox{シ}$である.ゆえに$n=\fbox{ス}$である.
(2) 条件 \[ a_1=3,\quad a_{n+1}=\frac{3a_n+2}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定められる数列$\{a_n\}$に対して,$\displaystyle b_n=\frac{a_n-2}{a_n+1}$とおくと,数列$\{b_n\}$は等比数列となり,これより,数列$\{a_n\}$の一般項は \[ a_n=\frac{\fbox{セ} \cdot \fbox{ソ}^n+\fbox{タ}}{\fbox{チ}^n-\fbox{ツ}} \] となる.
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