お茶の水女子大学
2012年 理(数学科) 第2問
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$a,\ b$を実数とし,$a<b$とする.関数$f(x)$は閉区間$[a,\ b]$で連続,開区間$(a,\ b)$で少なくとも2回まで微分可能で,$f^{\prime\prime}(x) \geqq 0$とする.以下の問いに答えよ.
(1) $a<c<b$とする.$y=g(x)$を点$(c,\ f(c))$における$f(x)$の接線とする.$a \leqq x \leqq b$のとき$g(x) \leqq f(x)$を示せ.
(2) $y=h(x)$を,$(a,\ f(a))$,$(b,\ f(b))$の2点を通る直線とする.$a \leqq x \leqq b$のとき$f(x) \leqq h(x)$を示せ.
(3) $a<c<b$とする. \[ \frac{1}{2}(b-a) \left( f^\prime(c)(a+b-2c)+2f(c) \right) \leqq \int_a^b f(x) \, dx \leqq \frac{1}{2}(f(a)+f(b))(b-a) \] を示せ.
(4) \[ \frac{\pi}{2}e^{-\frac{1}{\sqrt{2}}} \leqq \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-\cos x} \, dx \leqq \frac{\pi}{4} \left( 1+\frac{1}{e} \right) \] を示せ.
(1) $a<c<b$とする.$y=g(x)$を点$(c,\ f(c))$における$f(x)$の接線とする.$a \leqq x \leqq b$のとき$g(x) \leqq f(x)$を示せ.
(2) $y=h(x)$を,$(a,\ f(a))$,$(b,\ f(b))$の2点を通る直線とする.$a \leqq x \leqq b$のとき$f(x) \leqq h(x)$を示せ.
(3) $a<c<b$とする. \[ \frac{1}{2}(b-a) \left( f^\prime(c)(a+b-2c)+2f(c) \right) \leqq \int_a^b f(x) \, dx \leqq \frac{1}{2}(f(a)+f(b))(b-a) \] を示せ.
(4) \[ \frac{\pi}{2}e^{-\frac{1}{\sqrt{2}}} \leqq \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-\cos x} \, dx \leqq \frac{\pi}{4} \left( 1+\frac{1}{e} \right) \] を示せ.
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