東京理科大学
2012年 基礎工 第2問
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![2つの関数x=g(θ)=9/4sin2θ,y=h(x)=logxに対して,関数g(θ)と関数h(x)の合成関数f(θ)=h(g(θ))を考える.ただし,対数は自然対数とする.(1)f(π/3)=-[ア]log2+\frac{[イ]}{[ウ]}log3である.(2)実数θ_1がsinθ_1+cosθ_1=\frac{\sqrt{82}}{8}を満たすとき,f(θ_1)=-[エ]log2+[オ]log3である.(3)f(θ)のθ=π/8,θ=π/12における微分係数はそれぞれf^{\;\prime}(π/8)=[カ],f^{\;\prime}(π/12)=[キ]\sqrt{[ク]}となる.](./thumb/269/272/2012_2.png)
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$2$つの関数
\[ x=g(\theta)=\frac{9}{4}\sin 2\theta, \quad y=h(x)=\log x \]
に対して,関数$g(\theta)$と関数$h(x)$の合成関数
\[ f(\theta) = h(g(\theta)) \]
を考える.ただし,対数は自然対数とする.
(1) $\displaystyle f\left( \frac{\pi}{3} \right) = -\fbox{ア}\log 2 + \frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}}\log 3$である.
(2) 実数$\theta_1$が$\displaystyle \sin \theta_1+\cos \theta_1 = \frac{\sqrt{82}}{8}$を満たすとき, \[ f(\theta_1) = - \fbox{エ} \log 2 + \fbox{オ}\log 3 \] である.
(3) $f(\theta)$の$\displaystyle\theta=\frac{\pi}{8},\ \theta=\frac{\pi}{12}$における微分係数はそれぞれ \[ f^{\; \prime} \left( \frac{\pi}{8} \right) = \fbox{カ}, \quad f^{\; \prime} \left(\frac{\pi}{12}\right) = \fbox{キ}\sqrt{\fbox{ク}} \] となる.
(1) $\displaystyle f\left( \frac{\pi}{3} \right) = -\fbox{ア}\log 2 + \frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}}\log 3$である.
(2) 実数$\theta_1$が$\displaystyle \sin \theta_1+\cos \theta_1 = \frac{\sqrt{82}}{8}$を満たすとき, \[ f(\theta_1) = - \fbox{エ} \log 2 + \fbox{オ}\log 3 \] である.
(3) $f(\theta)$の$\displaystyle\theta=\frac{\pi}{8},\ \theta=\frac{\pi}{12}$における微分係数はそれぞれ \[ f^{\; \prime} \left( \frac{\pi}{8} \right) = \fbox{カ}, \quad f^{\; \prime} \left(\frac{\pi}{12}\right) = \fbox{キ}\sqrt{\fbox{ク}} \] となる.
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