$1$から$4$までの番号を書いた玉が$2$個ずつ，合計$8$個の玉が入った袋があり，この袋から玉を$1$個取り出すという操作を続けて行う．ただし，取り出した玉は袋に戻さず，また，すでに取り出した玉と同じ番号の玉が出てきた時点で一連の操作を終了するものとする．玉をちょうど$n$個取り出した時点で操作が終わる確率を$P(n)$とおく．次の問いに答えよ．
(1) $P(2),\ P(3)$を求めよ．
(2) $6$以上の$k$に対し，$P(k)=0$が成り立つことを示せ．
(3) 一連の操作が終了するまでに取り出された玉の個数の期待値を求めよ．