金沢大学
2014年 理系 第3問
3
3
行列
\[ P=\left( \begin{array}{cc}
x & \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3} & y
\end{array} \right) \]
について，次の問いに答えよ．
(1) $P^2=P$をみたす実数の組$(x,\ y)$は$2$組ある．これらを求めよ．
(2) $(1)$で求めた$2$つの組を$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$とし，それぞれに対応する行列$P$を$P_1$，$P_2$とおく．ただし，$x_1<x_2$とする．このとき，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し \[ (P_1P_2)^nP_1=r_nP_1 \] をみたす実数$r_n$を求めよ．
(3) 重複を許して$P_1$，$P_2$を$6$個並べて得られる順列 \[ Q_1 \quad Q_2 \quad Q_3 \quad Q_4 \quad Q_5 \quad Q_6 \] のうちで$Q_1=P_1$となるものすべてを考え，それぞれの順列に$6$個の行列の積$P_1 Q_2 Q_3 Q_4 Q_5 Q_6$を対応させる．このようにして得られる行列のうち，異なるものはいくつあるか．
(1) $P^2=P$をみたす実数の組$(x,\ y)$は$2$組ある．これらを求めよ．
(2) $(1)$で求めた$2$つの組を$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$とし，それぞれに対応する行列$P$を$P_1$，$P_2$とおく．ただし，$x_1<x_2$とする．このとき，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し \[ (P_1P_2)^nP_1=r_nP_1 \] をみたす実数$r_n$を求めよ．
(3) 重複を許して$P_1$，$P_2$を$6$個並べて得られる順列 \[ Q_1 \quad Q_2 \quad Q_3 \quad Q_4 \quad Q_5 \quad Q_6 \] のうちで$Q_1=P_1$となるものすべてを考え，それぞれの順列に$6$個の行列の積$P_1 Q_2 Q_3 Q_4 Q_5 Q_6$を対応させる．このようにして得られる行列のうち，異なるものはいくつあるか．
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