金沢大学
2012年 理系 第4問
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$n \geqq 3$とする．$1$個のサイコロを$n$回振る．この$n$回の試行のうちで$6$の目がちょうど$2$回，しかも続けて出る確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．
(1) $p_3,\ p_4$を求めよ．
(2) $p_n$を求め， \[ p_{n+1}-\frac{5}{6}p_n=\left( \frac{1}{6} \right)^2 \left( \frac{5}{6} \right)^{n-1} \] であることを示せ．
(3) $s_n=p_3+p_4+\cdots +p_n$として，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}s_n$を求めよ．ただし，必要ならば，$|r|<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nr^n=0$であることは使ってよい．
(1) $p_3,\ p_4$を求めよ．
(2) $p_n$を求め， \[ p_{n+1}-\frac{5}{6}p_n=\left( \frac{1}{6} \right)^2 \left( \frac{5}{6} \right)^{n-1} \] であることを示せ．
(3) $s_n=p_3+p_4+\cdots +p_n$として，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}s_n$を求めよ．ただし，必要ならば，$|r|<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nr^n=0$であることは使ってよい．
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