金沢大学
2013年 理系 第4問
4
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行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{7}{2} & \displaystyle\frac{1}{2} \\
\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{7}{2}
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$に対して，次の問いに答えよ．
(1) 実数$x,\ y,\ u,\ v$が，$xA+yE=uA+vE$を満たすならば，$x=u,\ y=v$であることを示せ．
(2) $A=a_1A+b_1E,\ A^2=a_2A+b_2E$となる実数$a_1,\ b_1,\ a_2,\ b_2$を求めよ．
(3) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$A^n=a_nA+b_nE$となる実数$a_n,\ b_n$を$n$を用いて表せ．
(4) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，実数$c_n,\ d_n$が \[ A+A^2+A^3+\cdots +A^n=c_nA+d_nE \] を満たしているとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{c_n}{d_n}$を求めよ．
(1) 実数$x,\ y,\ u,\ v$が，$xA+yE=uA+vE$を満たすならば，$x=u,\ y=v$であることを示せ．
(2) $A=a_1A+b_1E,\ A^2=a_2A+b_2E$となる実数$a_1,\ b_1,\ a_2,\ b_2$を求めよ．
(3) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$A^n=a_nA+b_nE$となる実数$a_n,\ b_n$を$n$を用いて表せ．
(4) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，実数$c_n,\ d_n$が \[ A+A^2+A^3+\cdots +A^n=c_nA+d_nE \] を満たしているとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{c_n}{d_n}$を求めよ．
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