行列$A=\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array} \right),\ P=\left( \begin{array}{cc} \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ 1 & 1 \end{array} \right)$に対して，$B=P^{-1}AP$とおく．また，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$a_n,\ b_n$を \[ \left( \begin{array}{c} a_n \\ b_n  \end{array} \right) = A^n \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right) \] で定める．次の問いに答えよ．
(1) $P^{-1}$および$B$を求めよ．
(2) $a_n,\ b_n$を求めよ．
(3) 実数$x$を超えない最大の整数を$[ \; x \; ]$で表す．このとき \[ \left[(2+\sqrt{3})^n \right] = a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] を示せ．また \[ c_n = (2+\sqrt{3})^n - \left[ (2+\sqrt{3})^n \right] \] とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_n$の値を求めよ．