$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に点$\mathrm{A}(0,\ \sin \theta)$，$\mathrm{B}(\cos \theta,\ 0)$がある．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．また，点$\mathrm{C}$を$\displaystyle \mathrm{AC}=2,\ \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$を満たす第1象限の点とする．さらに，点$\mathrm{C}$から$x$軸に垂線$\mathrm{CD}$を下ろす．次の問いに答えよ．
(1) $\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$を求めよ．また，$\angle \mathrm{OBA}$と$\angle \mathrm{CBD}$および点$\mathrm{C}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2) 台形$\mathrm{AODC}$の面積を$S$とするとき，$\displaystyle S \leqq 1+\frac{\sqrt{3}}{2}$を示せ．また，等号が成り立つとき，$\theta$の値を求めよ．
(3) $\mathrm{AO}+\mathrm{CD} \leqq 2$を示せ．また，等号が成り立つとき，$\theta$の値を求めよ． \imgc{355_1273_2012_1}