近畿大学
2012年 医学部 第2問
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$\angle \mathrm{A}={30}^\circ$,$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=4$をみたす$\triangle \mathrm{ABC}$において,点$\mathrm{C}$を点$\mathrm{P}_1$として,$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2$が正三角形になるように,辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}_1$,辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}_2$をとる.次に,図のように,$\triangle \mathrm{P}_2 \mathrm{Q}_2 \mathrm{P}_3$が正三角形になるように,辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}_2$,辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}_3$をとる.以下同様にして,$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$が正三角形になるように,辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}_n$,辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}_{n+1}$をとる.($n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$)
\imgc{541_2299_2012_1}
$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積を$S_n$,$\triangle \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_{n+1}$の面積を$T_n$とする.
(1) $\mathrm{BC}$と$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さを,二重根号を用いない形で求めよ.
(2) $S_1,\ T_1$の値を求めよ.
(3) $S_n$を$n$を用いて表せ.また,$\displaystyle S_n<\frac{1}{1000}$をみたす最小の$n$の値を求めよ.
(4) $T_n$を$n$を用いて表せ.また,和$\displaystyle \sum_{n=1}^5 T_n$の値を求めよ.
$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積を$S_n$,$\triangle \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_{n+1}$の面積を$T_n$とする.
(1) $\mathrm{BC}$と$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さを,二重根号を用いない形で求めよ.
(2) $S_1,\ T_1$の値を求めよ.
(3) $S_n$を$n$を用いて表せ.また,$\displaystyle S_n<\frac{1}{1000}$をみたす最小の$n$の値を求めよ.
(4) $T_n$を$n$を用いて表せ.また,和$\displaystyle \sum_{n=1}^5 T_n$の値を求めよ.
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