鹿児島大学
2010年 医（医）・理（数理・物理・地環）・工・歯 第4問
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$a$を0以上の実数とし，$x>-1$で定義された関数
\[ f(x)=2x^2+(1-a^2) \log (x+1) \]
について，次の各問いに答えよ．
(1) 方程式$f^\prime(x)=0$が$x>-1$で異なる2つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2) $a$が(1)で求めた範囲にあるとき，関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3) $a$が(1)で求めた範囲にあるとき，関数$f(x)$の極小値は$\displaystyle \frac{1-2 \log 2}{2}$より大きいことを証明せよ．
(1) 方程式$f^\prime(x)=0$が$x>-1$で異なる2つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2) $a$が(1)で求めた範囲にあるとき，関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3) $a$が(1)で求めた範囲にあるとき，関数$f(x)$の極小値は$\displaystyle \frac{1-2 \log 2}{2}$より大きいことを証明せよ．
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