数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は \[ \left\{ \begin{array}{l} a_1=b_1=2, \phantom{\displaystyle\frac{\fbox{}}{\fbox{}}} \\ \displaystyle a_{n+1}=\frac{\sqrt{2}}{4}a_n-\frac{\sqrt{6}}{4}b_n,\quad b_{n+1}=\frac{\sqrt{6}}{4}a_n+\frac{\sqrt{2}}{4}b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \phantom{\displaystyle\frac{\fbox{}}{\fbox{}}} \end{array} \right. \] を満たすものとする．$a_n$を実部とし$b_n$を虚部とする複素数を$z_n$で表すとき，次の問いに答えよ．
(1) $z_{n+1}=wz_n$を満たす複素数$w$と，その絶対値$|w|$を求めよ．
(2) 複素数平面上で，点$z_{n+1}$は点$z_n$をどのように移動した点であるかを答えよ．
(3) 数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4) 複素数平面上の$3$点$0,\ z_n,\ z_{n+1}$を頂点とする三角形の周と内部を黒く塗りつぶしてできる図形を$T_n$とする．このとき，複素数平面上で$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n,\ \cdots$によって黒く塗りつぶされる領域の面積を求めよ．