座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$に，この円の外にある点$\mathrm{P}$から$2$本の接線をひき，それらのなす角のうち$C$を挟むものの大きさを$\theta$とする．さらに，線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}$を$r$を用いて表せ．
(2) $\cos \theta$を$r$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(4) $\displaystyle \frac{\pi}{3} \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{3}$を満たす点$\mathrm{P}$の存在する領域の面積を求めよ． \imgc{310_2229_2011_1}