東京理科大学
2012年 理(数) 第2問
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$s,\ t$を実数とし,$0<s<1$とする.座標空間内の$3$点
\[ \begin{array}{l}
\mathrm{P}((2-s)+s \cos t,\ 0,\ (2-s)+s \sin t), \\ \\
\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{2-s}{\sqrt{2}}+\frac{s}{\sqrt{2}} \cos t,\ \frac{2-s}{\sqrt{2}}+\frac{s}{\sqrt{2}} \cos t,\ (2-s)+s \sin t \right), \\ \\
\mathrm{R}(0,\ 0,\ (2-s)+s \sin t)
\end{array} \]
について,次の問いに答えよ.
(1) $\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$を含む平面の方程式を求めよ.
(2) $\mathrm{RP}=\mathrm{RQ}$を示せ.
点$\mathrm{Q}$は,点$\mathrm{R}$を中心とし$\mathrm{RP}$を半径とする円周上に存在する.このとき,弦$\mathrm{PQ}$に対する弧$\mathrm{PQ}$と,半径$\mathrm{RP}$および半径$\mathrm{RQ}$で囲まれる扇形を$C$とする.ただし,$C$の中心角$\angle \mathrm{PRQ}$は$\pi$以下とする.
(3) $C$の面積を$s$と$t$を用いて表せ.
(4) $t$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき,$\mathrm{R}$の$z$座標の動く範囲を$s$を用いて表せ.
(5) $t$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき,扇形$C$が通過する部分の体積$V_1$を$s$を用いて表せ. $t$が$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{3\pi}{2}$の範囲を動くとき,扇形$C$が通過する部分の体積$V_2$を$s$を用いて表せ. 上の$(5)$,$(6)$の$V_1$,$V_2$に対して,$s$が$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq s \leqq \frac{1}{2}$の範囲を動くときの$V_1-V_2$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ.
(1) $\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$を含む平面の方程式を求めよ.
(2) $\mathrm{RP}=\mathrm{RQ}$を示せ.
点$\mathrm{Q}$は,点$\mathrm{R}$を中心とし$\mathrm{RP}$を半径とする円周上に存在する.このとき,弦$\mathrm{PQ}$に対する弧$\mathrm{PQ}$と,半径$\mathrm{RP}$および半径$\mathrm{RQ}$で囲まれる扇形を$C$とする.ただし,$C$の中心角$\angle \mathrm{PRQ}$は$\pi$以下とする.
(3) $C$の面積を$s$と$t$を用いて表せ.
(4) $t$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき,$\mathrm{R}$の$z$座標の動く範囲を$s$を用いて表せ.
(5) $t$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき,扇形$C$が通過する部分の体積$V_1$を$s$を用いて表せ. $t$が$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{3\pi}{2}$の範囲を動くとき,扇形$C$が通過する部分の体積$V_2$を$s$を用いて表せ. 上の$(5)$,$(6)$の$V_1$,$V_2$に対して,$s$が$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq s \leqq \frac{1}{2}$の範囲を動くときの$V_1-V_2$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ.
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