東北医科薬科大学
2015年 薬学部 第1問
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![三角形OABはOA=6,OB=2√5,AB=2√2である.点Pは辺ABをk:(1-k)に,点Qは辺OBを(1-k^2):k^2に内分する点である.ただし0<k<1とする.ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルbとおく.このとき,次の問に答えなさい.(1)ベクトルOP=([ア]-[イ])ベクトルa+[ウ]ベクトルbである.(2)ベクトルベクトルa,ベクトルbの内積はベクトルa・ベクトルb=[エオ]である.(3)点Bから直線OAに下ろした垂線をBRとおくとベクトルOR=\frac{[カ]}{[キ]}ベクトルaである.(4)ベクトルRQ=-\frac{[ク]}{[ケ]}ベクトルa+([コ]-{[サ]}^{\mkakko{シ}})ベクトルbである.(5)ベクトルベクトルRPとベクトルRQの内積はベクトルRP・ベクトルRQ=[ス]k^3-[セ]k^2+[ソ]kである.この値はk=\frac{[タ]}{[チ]}で最大値\frac{[ツテ]}{[トナ]}をとる.](./thumb/64/2226/2015_1.png)
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三角形$\mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=6$,$\mathrm{OB}=2 \sqrt{5}$,$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$である.点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$k:(1-k)$に,点$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{OB}$を$(1-k^2):k^2$に内分する点である.ただし$0<k<1$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく.このとき,次の問に答えなさい.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(\fbox{ア}-\fbox{イ}) \overrightarrow{a}+\fbox{ウ} \overrightarrow{b}$である.
(2) ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の内積は$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\fbox{エオ}$である.
(3) 点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線を$\mathrm{BR}$とおくと$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}} \overrightarrow{a}$である.
(4) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{RQ}}=-\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} \overrightarrow{a}+(\fbox{コ}-{\fbox{サ}}^{\mkakko{シ}}) \overrightarrow{b}$である.
(5) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{RP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$の内積は \[ \overrightarrow{\mathrm{RP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{RQ}}=\fbox{ス}k^3-\fbox{セ}k^2+\fbox{ソ}k \] である.この値は$\displaystyle k=\frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}$で最大値$\displaystyle \frac{\fbox{ツテ}}{\fbox{トナ}}$をとる.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(\fbox{ア}-\fbox{イ}) \overrightarrow{a}+\fbox{ウ} \overrightarrow{b}$である.
(2) ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の内積は$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\fbox{エオ}$である.
(3) 点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線を$\mathrm{BR}$とおくと$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}} \overrightarrow{a}$である.
(4) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{RQ}}=-\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} \overrightarrow{a}+(\fbox{コ}-{\fbox{サ}}^{\mkakko{シ}}) \overrightarrow{b}$である.
(5) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{RP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$の内積は \[ \overrightarrow{\mathrm{RP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{RQ}}=\fbox{ス}k^3-\fbox{セ}k^2+\fbox{ソ}k \] である.この値は$\displaystyle k=\frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}$で最大値$\displaystyle \frac{\fbox{ツテ}}{\fbox{トナ}}$をとる.
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