首都大学東京
2010年 都市教養(文系) 第3問
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実数$a,\ b,\ c,\ d$に対し$x$の3次の整式$P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$を考える.ただし,$ad \neq 0$とする.方程式$P(x) = 0$の3つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とすると$P(x) =a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$であることが知られている.このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) 積$\alpha \beta \gamma$,和$\alpha+ \beta + \gamma$,$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+ \frac{1}{\beta}+ \frac{1}{\gamma}$を,それぞれ$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい.
(2) もし$\alpha$が実数でないならば,方程式$P(x) = 0$は$\alpha$の共役な複素数$\overline{\alpha}$を解に持つことを証明しなさい.
(3) 解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$のうち実数となるものの個数は$0,\ 1,\ 2,\ 3$のどれか,考えられる可能性をすべて,理由も述べて答えなさい.
(4) もし$ad > 0$ならば,解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$のうち正の実数となるものの個数は$0,\ 1,\ 2,\ 3$のどれか.考えられる可能性をすべて,理由も述べて答えなさい.
(1) 積$\alpha \beta \gamma$,和$\alpha+ \beta + \gamma$,$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+ \frac{1}{\beta}+ \frac{1}{\gamma}$を,それぞれ$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい.
(2) もし$\alpha$が実数でないならば,方程式$P(x) = 0$は$\alpha$の共役な複素数$\overline{\alpha}$を解に持つことを証明しなさい.
(3) 解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$のうち実数となるものの個数は$0,\ 1,\ 2,\ 3$のどれか,考えられる可能性をすべて,理由も述べて答えなさい.
(4) もし$ad > 0$ならば,解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$のうち正の実数となるものの個数は$0,\ 1,\ 2,\ 3$のどれか.考えられる可能性をすべて,理由も述べて答えなさい.
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