宮崎大学
2010年 教育文化(理系) 第3問
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すべての辺の長さが1の四角錐がある.この四角錐の頂点を$\mathrm{O}$,底面を正方形$\mathrm{ABCD}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする.このとき,次の各問に答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を,$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$をそれぞれ求めよ.
(3) 点$\mathrm{P}$,$\mathrm{O}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が正四面体の頂点となるようなすべての点$\mathrm{P}$について,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を,$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を,$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$をそれぞれ求めよ.
(3) 点$\mathrm{P}$,$\mathrm{O}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が正四面体の頂点となるようなすべての点$\mathrm{P}$について,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を,$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
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