慶應義塾大学
2014年 理工学部 第5問
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以下の$\fbox{ト}$,$\fbox{ナ}$,$\fbox{ニ}$には三角関数は$\sin \theta$と$\cos \theta$のみを用いて記入し,$\fbox{ヌ}$には$x$の式,$\fbox{ネ}$には$y$の式を記入すること.
座標平面上の$2$点$(1,\ 0)$,$(0,\ 1)$を結ぶ曲線$C$が媒介変数$\theta$を用いて \[ \left\{ \begin{array}{l} x=f(\theta) \\ y=g(\theta) \end{array} \right. \quad \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right) \] と表されているとする.いま,関数$f(\theta)$,$g(\theta)$は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$で連続,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$で微分可能かつ$f^\prime(\theta) \neq 0$であるとする.また$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき,点$(f(\theta),\ g(\theta))$における曲線$C$の接線の傾きが$-\tan \theta$であり,この接線から$x$軸,$y$軸で切り取られる線分の長さがつねに一定で$1$であるとする.
まず,この曲線$C$の方程式を求めたい.$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき,曲線$C$上の点$(f(\theta),\ g(\theta))$における接線を$y=-(\tan \theta)x+h(\theta)$と表すと$h(\theta)=\fbox{ト}$となる.この接線の傾きが$\displaystyle \frac{g^\prime(\theta)}{f^\prime(\theta)}$となることより,$f(\theta)=\fbox{ナ}$,$g(\theta)=\fbox{ニ}$となる.したがって,曲線$C$を$x,\ y$の方程式で表すと \[ \fbox{ヌ}+\fbox{ネ}=1 \quad (x \geqq 0,\ y \geqq 0) \] となる.
次に,点$(f(\theta),\ g(\theta))$における曲線$C$の法線を$\ell(\theta)$とする.$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{4}$のとき$\ell(\theta)$と$\displaystyle \ell \left( \frac{\pi}{4} \right)$との交点の$x$座標を$X(\theta)$とすると,$\displaystyle \lim_{\theta \to \frac{\pi}{4}} X(\theta)=\fbox{ノ}$となる.
また,曲線$C$と$x$軸,$y$軸で囲まれた部分の面積は$\fbox{ハ}$である.
座標平面上の$2$点$(1,\ 0)$,$(0,\ 1)$を結ぶ曲線$C$が媒介変数$\theta$を用いて \[ \left\{ \begin{array}{l} x=f(\theta) \\ y=g(\theta) \end{array} \right. \quad \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right) \] と表されているとする.いま,関数$f(\theta)$,$g(\theta)$は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$で連続,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$で微分可能かつ$f^\prime(\theta) \neq 0$であるとする.また$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき,点$(f(\theta),\ g(\theta))$における曲線$C$の接線の傾きが$-\tan \theta$であり,この接線から$x$軸,$y$軸で切り取られる線分の長さがつねに一定で$1$であるとする.
まず,この曲線$C$の方程式を求めたい.$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき,曲線$C$上の点$(f(\theta),\ g(\theta))$における接線を$y=-(\tan \theta)x+h(\theta)$と表すと$h(\theta)=\fbox{ト}$となる.この接線の傾きが$\displaystyle \frac{g^\prime(\theta)}{f^\prime(\theta)}$となることより,$f(\theta)=\fbox{ナ}$,$g(\theta)=\fbox{ニ}$となる.したがって,曲線$C$を$x,\ y$の方程式で表すと \[ \fbox{ヌ}+\fbox{ネ}=1 \quad (x \geqq 0,\ y \geqq 0) \] となる.
次に,点$(f(\theta),\ g(\theta))$における曲線$C$の法線を$\ell(\theta)$とする.$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{4}$のとき$\ell(\theta)$と$\displaystyle \ell \left( \frac{\pi}{4} \right)$との交点の$x$座標を$X(\theta)$とすると,$\displaystyle \lim_{\theta \to \frac{\pi}{4}} X(\theta)=\fbox{ノ}$となる.
また,曲線$C$と$x$軸,$y$軸で囲まれた部分の面積は$\fbox{ハ}$である.
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