あるバクテリアをある条件の下で培養した場合，生存している$1$個が，$1$時間後には$1$回分裂して$2$個ともに生存しているか，あるいは死滅しているかであり，$2$個とも生存している確率が$p$，死滅している確率が$1-p$であるという．このバクテリアがこの条件の下で最初$1$個生存していたとき，$n$時間後に$1$個以上生存している確率を$P_n$とおく．ただし，$n$は自然数とする．
(1) $P_2,\ P_3$をそれぞれ$p$の式で表せ．
(2) $P_{n+1}$を$p$と$P_n$の式で表せ．
(3) $\displaystyle p=\frac{1}{3}$のときの$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．
(4) $a$を$2$より大きな実数とする．$\displaystyle p=\frac{a-1}{a}$，$\displaystyle Q_n=P_n-\frac{a-2}{a-1}$としたとき，$0<Q_{n+1}<Q_n$であることを示せ．
(5) $p$が$(4)$と同じときの$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．