$a$を正の整数とする．正の実数$x$についての方程式 \[ (\ast) \quad x = \left[ \frac{1}{2} \left( x+ \frac{a}{x} \right) \right] \] が解を持たないような$a$を小さい順に並べたものを$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$とする．ここに$[ \quad ]$はガウス記号で，実数$u$に対し，$[ \; u \; ]$は$u$以下の最大の整数を表す．
(1) $a = 7,\ 8,\ 9$の各々について，$(\ast)$の解があるかどうかを判定し，ある場合は解$x$を求めよ．
(2) $a_1,\ a_2$を求めよ．
(3) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}$を求めよ．