山形大学
2011年 医学部 第3問
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座標平面上で原点を中心とする角$\theta \ $(ラジアン)の回転移動を表す行列を$R(\theta)$とする.また,$\displaystyle 0<\theta<\pi \ \left( \theta \neq \frac{\pi}{2} \right)$となる$\theta$に対し,直線$y=(\tan \theta)x$に関する対称移動を表す行列を$A(\theta)$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) 行列$X=R(\theta)^{-1}A(\theta)R(\theta)$を求めよ.また,$s$に対して$XR(s)X=R(t)$を満たす$t$を求めよ.ただし,$R(\theta)^{-1}$は$R(\theta)$の逆行列である.
(2) $\displaystyle 0<\alpha<\pi,\ 0<\beta<\pi \ \left( \alpha,\ \beta \neq \frac{\pi}{2} \right)$のとき,$A(\alpha) A(\beta)$を求めよ.
(3) $\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$のとき,$A(\alpha)A(\beta)=A(\beta)A(\alpha)$となるための必要十分条件を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ.
(4) $\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2}$で,点$(\tan \alpha,\ \tan \beta)$が曲線$\displaystyle y=\frac{3x-1}{x+3}$上にあるとき,次の\maru{1},\maru{2}に答えよ.
[\maru{1}] $\tan (\alpha-\beta)$の値を求めよ. [\maru{2}] $A(\alpha)A(\beta)$を求めよ.
(1) 行列$X=R(\theta)^{-1}A(\theta)R(\theta)$を求めよ.また,$s$に対して$XR(s)X=R(t)$を満たす$t$を求めよ.ただし,$R(\theta)^{-1}$は$R(\theta)$の逆行列である.
(2) $\displaystyle 0<\alpha<\pi,\ 0<\beta<\pi \ \left( \alpha,\ \beta \neq \frac{\pi}{2} \right)$のとき,$A(\alpha) A(\beta)$を求めよ.
(3) $\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$のとき,$A(\alpha)A(\beta)=A(\beta)A(\alpha)$となるための必要十分条件を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ.
(4) $\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2}$で,点$(\tan \alpha,\ \tan \beta)$が曲線$\displaystyle y=\frac{3x-1}{x+3}$上にあるとき,次の\maru{1},\maru{2}に答えよ.
[\maru{1}] $\tan (\alpha-\beta)$の値を求めよ. [\maru{2}] $A(\alpha)A(\beta)$を求めよ.
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