玉川大学
2011年 全学部 第2問
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![次の[]を埋めよ．(1)数列{a_n}がa_1=2，a_n=3a_{n-1}-1(n=2,3,4,・・・)のとき，a_2=[]，a_3=[]で，一般項はa_n=\frac{{[]}^n+[]}{[]}である．(2)\frac{sin^4α}{sin^2β}+\frac{cos^4α}{cos^2β}=1のとき，sin^2α-sin^2β=[]となるから\frac{sin^4β}{sin^2α}+\frac{cos^4β}{cos^2α}=[]となる．(3)実数x,yが{\begin{array}{l}x+y=k\x^2+2y^2=1\end{array}.を満たすとき，kの最大値は\sqrt{\frac{[]}{[]}}である．(4)2点A(0,-2)，B(4,0)と放物線y=x^2上の点C(t,t^2)で作られる三角形ABCの面積SはS=[]t^2-t+[]である．Sはt=\frac{[]}{[]}のとき，最小値\frac{[]}{[]}をとる．](./thumb/233/3172/2011_2.png)
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次の$\fbox{}$を埋めよ．
(1) 数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_n=3a_{n-1}-1 \ \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$のとき，$a_2=\fbox{}$，$a_3=\fbox{}$で，一般項は$\displaystyle a_n=\frac{{\fbox{}}^n+\fbox{}}{\fbox{}}$である．
(2) $\displaystyle \frac{\sin^4 \alpha}{\sin^2 \beta}+\frac{\cos^4 \alpha}{\cos^2 \beta}=1$のとき，$\sin^2 \alpha-\sin^2 \beta=\fbox{}$となるから$\displaystyle \frac{\sin^4 \beta}{\sin^2 \alpha}+\frac{\cos^4 \beta}{\cos^2 \alpha}=\fbox{}$となる．
(3) 実数$x,\ y$が$\left\{ \begin{array}{l} x+y=k \\ x^2+2y^2=1 \end{array} \right.$を満たすとき，$k$の最大値は$\displaystyle \sqrt{\frac{\fbox{}}{\fbox{}}}$である．
(4) $2$点$\mathrm{A}(0,\ -2)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$と放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{C}(t,\ t^2)$で作られる三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$は$S=\fbox{}t^2-t+\fbox{}$である．$S$は$\displaystyle t=\frac{\fbox{}}{\fbox{}}$のとき，最小値$\displaystyle \frac{\fbox{}}{\fbox{}}$をとる．
(1) 数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_n=3a_{n-1}-1 \ \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$のとき，$a_2=\fbox{}$，$a_3=\fbox{}$で，一般項は$\displaystyle a_n=\frac{{\fbox{}}^n+\fbox{}}{\fbox{}}$である．
(2) $\displaystyle \frac{\sin^4 \alpha}{\sin^2 \beta}+\frac{\cos^4 \alpha}{\cos^2 \beta}=1$のとき，$\sin^2 \alpha-\sin^2 \beta=\fbox{}$となるから$\displaystyle \frac{\sin^4 \beta}{\sin^2 \alpha}+\frac{\cos^4 \beta}{\cos^2 \alpha}=\fbox{}$となる．
(3) 実数$x,\ y$が$\left\{ \begin{array}{l} x+y=k \\ x^2+2y^2=1 \end{array} \right.$を満たすとき，$k$の最大値は$\displaystyle \sqrt{\frac{\fbox{}}{\fbox{}}}$である．
(4) $2$点$\mathrm{A}(0,\ -2)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$と放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{C}(t,\ t^2)$で作られる三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$は$S=\fbox{}t^2-t+\fbox{}$である．$S$は$\displaystyle t=\frac{\fbox{}}{\fbox{}}$のとき，最小値$\displaystyle \frac{\fbox{}}{\fbox{}}$をとる．
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