産業医科大学
2014年 医学部 第1問
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空欄にあてはまる適切な数,式,記号などを記入しなさい.
(1) 実数$x$の関数$f(x)=|\sin 2x+2 \sin x+2 \cos x|$の最大値は$\fbox{ア}$である.
(2) 行列$A=\left( \begin{array}{cc} \cos \theta & -2 \sin \theta \\ \displaystyle\frac{1}{2} \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right)$が$0<\theta<\pi$の範囲で$A^5=A^2$を満たすとき,実数$\theta$の値は$\fbox{イ}$である.
(3) 定積分$\displaystyle \int_0^{-1} \frac{x^2-1}{x^2+1} \, dx$の値は$\fbox{ウ}$である.
(4) $n$をある自然数とする.実数$x$に対して,方程式$7 \sin^{8n} x+x=0$の解の個数は$\fbox{エ}$である.
(5) $\displaystyle 0<a<\frac{1}{4}$とする.座標平面において,方程式$\displaystyle -4ax+\sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{1}{4}$で表される曲線が囲む図形の面積は$\fbox{オ}$である. $x+y+z+w=20$を満たす正の整数$x,\ y,\ z,\ w$の組は全部で$\fbox{カ}$個である. $7$つの実数$\displaystyle \frac{1}{2}$,$\sqrt{\pi}$,$\sqrt{3}$,$\displaystyle \frac{\pi^2}{8}$,$\displaystyle \sin \frac{\pi}{8}$,$\displaystyle \cos \frac{\pi}{8}$,$\displaystyle \tan \frac{\pi}{8}$を小さい方から順に並べたものを$A<B<C<D<E<F<G$とする.このとき実数$A^2$の値は$\fbox{キ}$であり,$E^2-F^2+G^2$の値は$\fbox{ク}$である.
(1) 実数$x$の関数$f(x)=|\sin 2x+2 \sin x+2 \cos x|$の最大値は$\fbox{ア}$である.
(2) 行列$A=\left( \begin{array}{cc} \cos \theta & -2 \sin \theta \\ \displaystyle\frac{1}{2} \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right)$が$0<\theta<\pi$の範囲で$A^5=A^2$を満たすとき,実数$\theta$の値は$\fbox{イ}$である.
(3) 定積分$\displaystyle \int_0^{-1} \frac{x^2-1}{x^2+1} \, dx$の値は$\fbox{ウ}$である.
(4) $n$をある自然数とする.実数$x$に対して,方程式$7 \sin^{8n} x+x=0$の解の個数は$\fbox{エ}$である.
(5) $\displaystyle 0<a<\frac{1}{4}$とする.座標平面において,方程式$\displaystyle -4ax+\sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{1}{4}$で表される曲線が囲む図形の面積は$\fbox{オ}$である. $x+y+z+w=20$を満たす正の整数$x,\ y,\ z,\ w$の組は全部で$\fbox{カ}$個である. $7$つの実数$\displaystyle \frac{1}{2}$,$\sqrt{\pi}$,$\sqrt{3}$,$\displaystyle \frac{\pi^2}{8}$,$\displaystyle \sin \frac{\pi}{8}$,$\displaystyle \cos \frac{\pi}{8}$,$\displaystyle \tan \frac{\pi}{8}$を小さい方から順に並べたものを$A<B<C<D<E<F<G$とする.このとき実数$A^2$の値は$\fbox{キ}$であり,$E^2-F^2+G^2$の値は$\fbox{ク}$である.
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