茨城大学
2012年 理学部 第3問
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![数列{a_n}をa_n=1/n!∫_0^1t^ne^{-t}dt(n=1,2,3,・・・)と定義する.ただし,eは自然対数の底とする.次の各問に答えよ.(1)a_1を求めよ.(2)0≦t≦1のときt^n≦tであることを用いてa_n≦\frac{a_1}{n!}(n=1,2,3,・・・)を示せ.(3)極限\lim_{n→∞}a_nを求めよ.(4)a_{n+1}=a_n-\frac{1}{e(n+1)!}(n=1,2,3,・・・)を示せ.(5)極限\lim_{n→∞}(1/2!+1/3!+・・・+1/n!)を求めよ.](./thumb/85/2188/2012_3.png)
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数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\frac{1}{n!}\int_0^1 t^ne^{-t} \, dt \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する.ただし,$e$は自然対数の底とする.次の各問に答えよ.
(1) $a_1$を求めよ.
(2) $0 \leqq t \leqq 1$のとき$t^n \leqq t$であることを用いて$\displaystyle a_n \leqq \frac{a_1}{n!} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ.
(3) 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ.
(4) $\displaystyle a_{n+1}=a_n-\frac{1}{e(n+1)!} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ.
(5) 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right)$を求めよ.
(1) $a_1$を求めよ.
(2) $0 \leqq t \leqq 1$のとき$t^n \leqq t$であることを用いて$\displaystyle a_n \leqq \frac{a_1}{n!} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ.
(3) 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ.
(4) $\displaystyle a_{n+1}=a_n-\frac{1}{e(n+1)!} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ.
(5) 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right)$を求めよ.
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