佐賀大学
2016年 医学部 第4問
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複素数平面上の点$z$に対して
\[ w=\frac{3(1-i)z-2i}{z+3(1-i)} \]
で表される点$w$をとる.このとき,次の問に答えよ.
(1) $w=z$となるような点$z$は$2$つある.これらを求めよ.
(2) $(1)$で求めた異なる$2$点を$\alpha,\ \beta$とする.ただし,$0 \leqq \arg{\alpha}<\arg{\beta}<2\pi$とする.$z$が$\alpha,\ \beta$と異なる点であるとき, \[ \frac{w-\beta}{w-\alpha}=k \cdot \frac{z-\beta}{z-\alpha} \] となるような定数$k$の値を求めよ.
(3) 複素数$z_n$を \[ z_1=0,\quad z_{n+1}=\frac{3(1-i)z_n-2i}{z_n+3(1-i)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定める.また,$z_n$の実部と虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする.このとき,数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.さらに,数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の極限を求めよ.
(1) $w=z$となるような点$z$は$2$つある.これらを求めよ.
(2) $(1)$で求めた異なる$2$点を$\alpha,\ \beta$とする.ただし,$0 \leqq \arg{\alpha}<\arg{\beta}<2\pi$とする.$z$が$\alpha,\ \beta$と異なる点であるとき, \[ \frac{w-\beta}{w-\alpha}=k \cdot \frac{z-\beta}{z-\alpha} \] となるような定数$k$の値を求めよ.
(3) 複素数$z_n$を \[ z_1=0,\quad z_{n+1}=\frac{3(1-i)z_n-2i}{z_n+3(1-i)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定める.また,$z_n$の実部と虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする.このとき,数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.さらに,数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の極限を求めよ.
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