琉球大学
2014年 理系 第4問
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$1$個のさいころを繰り返し投げて景品を当てるゲームを行う.景品は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$種類あり,次の規則にしたがって景品をもらえるとする.
\begin{itemize}
出た目の数が$6$のときは,景品$\mathrm{A}$をもらえる.
出た目の数が$4,\ 5$のときは,景品$\mathrm{B}$をもらえる.
出た目の数が$1,\ 2,\ 3$のときは,景品はもらえない.
景品$\mathrm{A}$と景品$\mathrm{B}$の$2$種類とももらうことができたらゲームは終了する. \end{itemize} ちょうど$n$回さいころを投げ終わったところでゲームが終了する確率を$p_n$とする.次の問いに答えよ.
(1) $p_2$の値を求めよ.
(2) $n$を$2$以上の整数とする.$p_n$を$n$を用いて表せ.
(3) $n$を$2$以上の整数とする.不等式 \[ p_{n+1}-p_n<\frac{2}{3}(p_n-p_{n-1}) \] を示せ.ただし,$p_1=0$とする.
出た目の数が$6$のときは,景品$\mathrm{A}$をもらえる.
出た目の数が$4,\ 5$のときは,景品$\mathrm{B}$をもらえる.
出た目の数が$1,\ 2,\ 3$のときは,景品はもらえない.
景品$\mathrm{A}$と景品$\mathrm{B}$の$2$種類とももらうことができたらゲームは終了する. \end{itemize} ちょうど$n$回さいころを投げ終わったところでゲームが終了する確率を$p_n$とする.次の問いに答えよ.
(1) $p_2$の値を求めよ.
(2) $n$を$2$以上の整数とする.$p_n$を$n$を用いて表せ.
(3) $n$を$2$以上の整数とする.不等式 \[ p_{n+1}-p_n<\frac{2}{3}(p_n-p_{n-1}) \] を示せ.ただし,$p_1=0$とする.
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