東洋大学
2014年 理工・生命科学・食環境科学 第4問
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$C_1$を半径$1$の円とする.$H_1$を円$C_1$に内接する正六角形とし,正六角形$H_1$に内接する円を$C_2$とする.次の各問に答えよ.
(1) 円$C_2$の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{ア}}}{\fbox{イ}}$である.
(2) 円$C_2$に内接する正六角形を$H_2$とする.この操作を繰り返し,$10$個の円$C_1,\ C_2,\ \cdots,\ C_{10}$を作る.このとき,$C_1,\ C_2,\ \cdots,\ C_{10}$の円周の長さの総和は \[ \frac{\kakkofour{ウ}{エ}{オ}{カ}+\fbox{キ}\fbox{ク}\fbox{ケ} \sqrt{\fbox{コ}}}{256} \pi \] である.
(3) 円$C_1$に内接する正十二角形に,円$C^\prime$が内接している.このとき,$C^\prime$の半径は$\displaystyle \frac{\fbox{サ}+\sqrt{\fbox{シ}}}{2 \sqrt{2}}$である.
(1) 円$C_2$の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{ア}}}{\fbox{イ}}$である.
(2) 円$C_2$に内接する正六角形を$H_2$とする.この操作を繰り返し,$10$個の円$C_1,\ C_2,\ \cdots,\ C_{10}$を作る.このとき,$C_1,\ C_2,\ \cdots,\ C_{10}$の円周の長さの総和は \[ \frac{\kakkofour{ウ}{エ}{オ}{カ}+\fbox{キ}\fbox{ク}\fbox{ケ} \sqrt{\fbox{コ}}}{256} \pi \] である.
(3) 円$C_1$に内接する正十二角形に,円$C^\prime$が内接している.このとき,$C^\prime$の半径は$\displaystyle \frac{\fbox{サ}+\sqrt{\fbox{シ}}}{2 \sqrt{2}}$である.
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