浜松医科大学
2014年 医学部 第1問
1
![pを正の実数として,放物線C:y^2=4pxを定める.Cの頂点をO,焦点をF,準線をℓ:x=-pとする.C上の2点A(a,2\sqrt{pa})(a>0)とB(b,-2\sqrt{pb})(b>0)を考えるとき,以下の問いに答えよ.(1)AにおけるCの接線をℓ(A)とし,ℓ(A)と準線ℓとの交点をPとする.ℓ(A)の方程式をかいて,Pの座標を求めよ.また,線分APの長さは線分AFの長さより大きいことを示せ.(2)接線ℓ(A)が直線ABとAにおいて直交するとき,bをa,pを用いて表せ.またaが0<a<∞の範囲内を動くとき,bの最小値を求めよ.以下(2)の最小値を実現するC上の2点をA_0,B_0とし,接線ℓ(A_0)と準線ℓの交点をP_0とする.(3)直線OA_0と直線P_0B_0はOにおいて直交することを示せ.(4)△A_0OB_0の面積をS,線分A_0B_0とCで囲まれた図形の面積をTとするとき,比S:Tを求めよ.](./thumb/397/1051/2014_1.png)
1
$p$を正の実数として,放物線$C:y^2=4px$を定める.$C$の頂点を$\mathrm{O}$,焦点を$\mathrm{F}$,準線を$\ell:x=-p$とする.$C$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ 2 \sqrt{pa}) \ \ (a>0)$と$\mathrm{B}(b,\ -2 \sqrt{pb}) \ \ (b>0)$を考えるとき,以下の問いに答えよ.
(1) $\mathrm{A}$における$C$の接線を$\ell (\mathrm{A})$とし,$\ell(\mathrm{A})$と準線$\ell$との交点を$\mathrm{P}$とする.$\ell(\mathrm{A})$の方程式をかいて,$\mathrm{P}$の座標を求めよ.また,線分$\mathrm{AP}$の長さは線分$\mathrm{AF}$の長さより大きいことを示せ.
(2) 接線$\ell(\mathrm{A})$が直線$\mathrm{AB}$と$\mathrm{A}$において直交するとき,$b$を$a,\ p$を用いて表せ.また$a$が$0<a<\infty$の範囲内を動くとき,$b$の最小値を求めよ.
以下$(2)$の最小値を実現する$C$上の$2$点を$\mathrm{A}_0$,$\mathrm{B}_0$とし,接線$\ell(\mathrm{A}_0)$と準線$\ell$の交点を$\mathrm{P}_0$とする.
(3) 直線$\mathrm{OA}_0$と直線$\mathrm{P}_0 \mathrm{B}_0$は$\mathrm{O}$において直交することを示せ.
(4) $\triangle \mathrm{A}_0 \mathrm{OB}_0$の面積を$S$,線分$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0$と$C$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき,比$S:T$を求めよ.
(1) $\mathrm{A}$における$C$の接線を$\ell (\mathrm{A})$とし,$\ell(\mathrm{A})$と準線$\ell$との交点を$\mathrm{P}$とする.$\ell(\mathrm{A})$の方程式をかいて,$\mathrm{P}$の座標を求めよ.また,線分$\mathrm{AP}$の長さは線分$\mathrm{AF}$の長さより大きいことを示せ.
(2) 接線$\ell(\mathrm{A})$が直線$\mathrm{AB}$と$\mathrm{A}$において直交するとき,$b$を$a,\ p$を用いて表せ.また$a$が$0<a<\infty$の範囲内を動くとき,$b$の最小値を求めよ.
以下$(2)$の最小値を実現する$C$上の$2$点を$\mathrm{A}_0$,$\mathrm{B}_0$とし,接線$\ell(\mathrm{A}_0)$と準線$\ell$の交点を$\mathrm{P}_0$とする.
(3) 直線$\mathrm{OA}_0$と直線$\mathrm{P}_0 \mathrm{B}_0$は$\mathrm{O}$において直交することを示せ.
(4) $\triangle \mathrm{A}_0 \mathrm{OB}_0$の面積を$S$,線分$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0$と$C$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき,比$S:T$を求めよ.
類題(関連度順)
![](./thumb/104/2265/2015_3s.png)
![](./thumb/504/1065/2010_2s.png)
![](./thumb/1/1/2013_2s.png)
![](./thumb/86/1824/2014_6s.png)
![](./thumb/370/2439/2014_4s.png)
![](./thumb/730/3013/2015_4s.png)
![](./thumb/188/1481/2012_1s.png)
![](./thumb/397/1051/2011_1s.png)
![](./thumb/100/767/2015_10s.png)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。