長崎大学
2012年 理系 第6問
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![次の問いに答えよ.(1)I_1=∫_0^{√3}\frac{dx}{x^2+1}とする.x=tanθとおくことにより,I_1=π/3を示せ.(2)(1)のI_1を部分積分して,I_1とI_2=∫_0^{√3}\frac{dx}{(x^2+1)^2}の関係式を導き,I_2の値を求めよ.(3)t=x+\sqrt{x^2+1}とおくことにより,不定積分∫\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}を求めよ.(4)合成関数の微分法を用いて,関数y=log(x+\sqrt{x^2+1})の導関数を求めよ.(5)極限値\lim_{n→∞}{\frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}}+・・・+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}}を求めよ.](./thumb/713/2938/2012_6.png)
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次の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle I_1=\int_0^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+1}$とする.$x=\tan \theta$とおくことにより,$\displaystyle I_1=\frac{\pi}{3}$を示せ.
(2) (1)の$I_1$を部分積分して,$I_1$と$\displaystyle I_2=\int_0^{\sqrt{3}}\frac{dx}{(x^2+1)^2}$の関係式を導き,$I_2$の値を求めよ.
(3) $t=x+\sqrt{x^2+1}$とおくことにより,不定積分$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$を求めよ.
(4) 合成関数の微分法を用いて,関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求めよ.
(5) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}} \right\}$を求めよ.
(1) $\displaystyle I_1=\int_0^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+1}$とする.$x=\tan \theta$とおくことにより,$\displaystyle I_1=\frac{\pi}{3}$を示せ.
(2) (1)の$I_1$を部分積分して,$I_1$と$\displaystyle I_2=\int_0^{\sqrt{3}}\frac{dx}{(x^2+1)^2}$の関係式を導き,$I_2$の値を求めよ.
(3) $t=x+\sqrt{x^2+1}$とおくことにより,不定積分$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$を求めよ.
(4) 合成関数の微分法を用いて,関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求めよ.
(5) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}} \right\}$を求めよ.
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