南山大学
2011年 総合政策学部 第1問
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$\fbox{}$の中に答を入れよ.
(1) $8^{n-1}<10^{39}<8^n$を満たす自然数$n$の値は$\fbox{ア}$である.ただし,$\log_{10}2=0.3010$とする.
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$a=9$,$b=8$,$c=7$であるとき,$\sin A=\fbox{イ}$であり,この三角形の面積は$\fbox{ウ}$である.
(3) $2$次方程式$x^2+kx+3=0$の$1$つの解が$\displaystyle \alpha=\frac{3-\sqrt{3}i}{2}$であるとき,実数$k$の値は$\fbox{エ}$である.また,$\alpha^5+\alpha^3+1$の値を求めると$\fbox{オ}$である.
(4) 定積分$\displaystyle \int_0^2 |x^2-1| \, dx=\fbox{カ}$である.また,関数$f(x)$がすべての実数$x$に対して等式$\displaystyle f(x)=|x^2-1|+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき,$f(x)=\fbox{キ}$である.
(5) $a,\ b$は実数で,$a<0$とする.$a \leqq x \leqq 3$を定義域とする$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-x+b$の値域が$-5 \leqq y \leqq 3$であるとき,$a=\fbox{ク}$,$b=\fbox{ケ}$である. $a$を$0$でない実数とする.関数$f(x)=x^3-3ax^2-9a^2x+3a$の極小値が負になるとき,$a$のとりうる値の範囲は$\fbox{コ}$である.
(1) $8^{n-1}<10^{39}<8^n$を満たす自然数$n$の値は$\fbox{ア}$である.ただし,$\log_{10}2=0.3010$とする.
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$a=9$,$b=8$,$c=7$であるとき,$\sin A=\fbox{イ}$であり,この三角形の面積は$\fbox{ウ}$である.
(3) $2$次方程式$x^2+kx+3=0$の$1$つの解が$\displaystyle \alpha=\frac{3-\sqrt{3}i}{2}$であるとき,実数$k$の値は$\fbox{エ}$である.また,$\alpha^5+\alpha^3+1$の値を求めると$\fbox{オ}$である.
(4) 定積分$\displaystyle \int_0^2 |x^2-1| \, dx=\fbox{カ}$である.また,関数$f(x)$がすべての実数$x$に対して等式$\displaystyle f(x)=|x^2-1|+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき,$f(x)=\fbox{キ}$である.
(5) $a,\ b$は実数で,$a<0$とする.$a \leqq x \leqq 3$を定義域とする$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-x+b$の値域が$-5 \leqq y \leqq 3$であるとき,$a=\fbox{ク}$,$b=\fbox{ケ}$である. $a$を$0$でない実数とする.関数$f(x)=x^3-3ax^2-9a^2x+3a$の極小値が負になるとき,$a$のとりうる値の範囲は$\fbox{コ}$である.
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