九州工業大学
2012年 情報工学部 第1問
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![関数f(x)=kx^3-3kx(k>0)が表す座標平面上の曲線をC:y=f(x)とする.曲線C上の2点P(p,f(p)),Q(ap,f(ap))における接線をそれぞれℓ_1,ℓ_2とする.ただし,p>0,a≠1とする.以下の問いに答えよ.(1)点Pにおける接線ℓ_1の方程式をk,pを用いて表せ.(2)点Qにおける接線ℓ_2が点Pを通るとき,aの値を求めよ.(3)あるkに対して2つの接線ℓ_1,ℓ_2が点Pにおいて垂直に交わっているとき,kをpを用いて表せ.また,そのようなkが存在するpの値の範囲を求めよ.(4)あるkに対して2つの接線ℓ_1,ℓ_2が点Pにおいて垂直に交わっているとき,接線ℓ_2と曲線Cによって囲まれた図形の面積Sをpを用いて表せ.](./thumb/678/3147/2012_1.png)
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関数$f(x)=kx^3-3kx \ (k>0)$が表す座標平面上の曲線を$C:y=f(x)$とする.曲線$C$上の2点P$(p,\ f(p))$,Q$(ap,\ f(ap))$における接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とする.ただし,$p>0,\ a \neq 1$とする.以下の問いに答えよ.
(1) 点Pにおける接線$\ell_1$の方程式を$k,\ p$を用いて表せ.
(2) 点Qにおける接線$\ell_2$が点Pを通るとき,$a$の値を求めよ.
(3) ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき,$k$を$p$を用いて表せ.また,そのような$k$が存在する$p$の値の範囲を求めよ.
(4) ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき,接線$\ell_2$と曲線$C$によって囲まれた図形の面積$S$を$p$を用いて表せ.
(1) 点Pにおける接線$\ell_1$の方程式を$k,\ p$を用いて表せ.
(2) 点Qにおける接線$\ell_2$が点Pを通るとき,$a$の値を求めよ.
(3) ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき,$k$を$p$を用いて表せ.また,そのような$k$が存在する$p$の値の範囲を求めよ.
(4) ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき,接線$\ell_2$と曲線$C$によって囲まれた図形の面積$S$を$p$を用いて表せ.
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