名古屋工業大学
2012年 工学部 第3問
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![a,bは定数でa≠0とする.自然数nに対して,整式(ax+b)^nをx^2+1で割った余りをa_nx+b_nと表し,I_n=∫_0^1\frac{(ax+b)^n}{x^2+1}dxとおく.(1)行列Aは,すべてのnに対して,\biggl(\begin{array}{c}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{array}\biggr)=A\biggl(\begin{array}{c}a_{n}\\b_{n}\end{array}\biggr)を満たす.行列Aを求めよ.(2)(1)で求めた行列Aに対し,A^2+pA+qE=Oとなる定数p,qをa,bを用いて表せ.ただし,Eは単位行列,Oは零行列である.(3)(2)で求めたp,qに対し,定積分I_{n+2}+pI_{n+1}+qI_nを求めよ.(4)a=1,b=-1のときI_5を求めよ.](./thumb/412/2575/2012_3.png)
3
$a,\ b$は定数で$a \neq 0$とする.自然数$n$に対して,整式$(ax+b)^n$を$x^2+1$で割った余りを$a_nx+b_n$と表し,
\[ I_n=\int_0^1 \frac{(ax+b)^n}{x^2+1} \, dx \]
とおく.
(1) 行列$A$は,すべての$n$に対して, \[ \biggl( \begin{array}{c} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c} a_{n} \\ b_{n} \end{array} \biggr) \] を満たす.行列$A$を求めよ.
(2) (1)で求めた行列$A$に対し, \[ A^2+pA+qE=O \] となる定数$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表せ.ただし,$E$は単位行列,$O$は零行列である.
(3) (2)で求めた$p,\ q$に対し,定積分 \[ I_{n+2}+pI_{n+1}+qI_n \] を求めよ.
(4) $a=1,\ b=-1$のとき$I_5$を求めよ.
(1) 行列$A$は,すべての$n$に対して, \[ \biggl( \begin{array}{c} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c} a_{n} \\ b_{n} \end{array} \biggr) \] を満たす.行列$A$を求めよ.
(2) (1)で求めた行列$A$に対し, \[ A^2+pA+qE=O \] となる定数$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表せ.ただし,$E$は単位行列,$O$は零行列である.
(3) (2)で求めた$p,\ q$に対し,定積分 \[ I_{n+2}+pI_{n+1}+qI_n \] を求めよ.
(4) $a=1,\ b=-1$のとき$I_5$を求めよ.
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