長崎大学
2013年 理系 第3問
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![nを2以上の整数とする.n個の実数a_1,a_2,・・・,a_nが与えられたとき,P_n=(a_1+a_2+・・・+a_n)^2,Q_n={a_1}^2+{a_2}^2+・・・+{a_n}^2とおく.次に,1≦i<j≦nを満たすすべての番号i,jに対するa_ia_jの和をR_nとする.たとえば,R_2=a_1a_2,R_3=a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3である.同様に,1≦i<j≦nを満たすすべての番号i,jに対する(a_i-a_j)^2の和をS_nとする.たとえば,S_2=(a_1-a_2)^2,S_3=(a_1-a_2)^2+(a_1-a_3)^2+(a_2-a_3)^2である.次の問いに答えよ.(1)P_4をQ_4とR_4を使って表せ.(2)すべてのn≧2に対してS_n=(n-1)Q_n-2R_nと表されることを,数学的帰納法で証明せよ.(3)Q_4をP_4とS_4を使って表せ.(4)a_1+a_2+a_3+a_4=1のとき,Q_4の最小値と,そのときのa_1,a_2,a_3,a_4の値をそれぞれ求めよ.](./thumb/713/2938/2013_3.png)
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$n$を$2$以上の整数とする.$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$が与えられたとき,
\[ P_n=(a_1+a_2+\cdots +a_n)^2,\quad Q_n={a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_n}^2 \]
とおく.次に,$1 \leqq i<j \leqq n$を満たすすべての番号$i,\ j$に対する$a_ia_j$の和を$R_n$とする.たとえば,$R_2=a_1a_2$,$R_3=a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3$である.同様に,$1 \leqq i<j \leqq n$を満たすすべての番号$i,\ j$に対する$(a_i-a_j)^2$の和を$S_n$とする.たとえば,$S_2=(a_1-a_2)^2$,$S_3=(a_1-a_2)^2+(a_1-a_3)^2+(a_2-a_3)^2$である.次の問いに答えよ.
(1) $P_4$を$Q_4$と$R_4$を使って表せ.
(2) すべての$n \geqq 2$に対して$S_n=(n-1)Q_n-2R_n$と表されることを,数学的帰納法で証明せよ.
(3) $Q_4$を$P_4$と$S_4$を使って表せ.
(4) $a_1+a_2+a_3+a_4=1$のとき,$Q_4$の最小値と,そのときの$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$の値をそれぞれ求めよ.
(1) $P_4$を$Q_4$と$R_4$を使って表せ.
(2) すべての$n \geqq 2$に対して$S_n=(n-1)Q_n-2R_n$と表されることを,数学的帰納法で証明せよ.
(3) $Q_4$を$P_4$と$S_4$を使って表せ.
(4) $a_1+a_2+a_3+a_4=1$のとき,$Q_4$の最小値と,そのときの$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$の値をそれぞれ求めよ.
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コメント(1件)
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