三重大学
2013年 人文学部 第4問
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![正四面体ABCDを考える.点Pは,時刻0では頂点Aにあり,1秒ごとに,今いる頂点から他の3頂点のいずれかに動くとする.nを正の整数として,Aから出発してn秒後にAに戻る経路の数をα_n,Aから出発してn秒後にBに到達する経路の数をβ_nとする.このとき,Aから出発してn秒後にCに到達する経路の数も,Dに到達する経路の数もβ_nとなる.このことに注意して,以下の問いに答えよ.ただしα_0=1,β_0=0とする.(1)α_2,β_2,α_2+3β_2,α_3,β_3,α_3+3β_3を求めよ.(2)n≧1に対しα_n,β_nをα_{n-1},β_{n-1}で表せ.(3)c_n=α_n-β_nとおいてc_nの一般項を求めよ.(4)α_nの一般項を求めよ.](./thumb/457/2643/2013_4.png)
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正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える.点$\mathrm{P}$は,時刻$0$では頂点$\mathrm{A}$にあり,$1$秒ごとに,今いる頂点から他の$3$頂点のいずれかに動くとする.$n$を正の整数として,$\mathrm{A}$から出発して$n$秒後に$\mathrm{A}$に戻る経路の数を$\alpha_n$,$\mathrm{A}$から出発して$n$秒後に$\mathrm{B}$に到達する経路の数を$\beta_n$とする.このとき,$\mathrm{A}$から出発して$n$秒後に$\mathrm{C}$に到達する経路の数も,$\mathrm{D}$に到達する経路の数も$\beta_n$となる.このことに注意して,以下の問いに答えよ.ただし$\alpha_0=1$,$\beta_0=0$とする.
(1) $\alpha_2,\ \beta_2,\ \alpha_2+3 \beta_2,\ \alpha_3,\ \beta_3,\ \alpha_3+3 \beta_3$を求めよ.
(2) $n \geqq 1$に対し$\alpha_n,\ \beta_n$を$\alpha_{n-1},\ \beta_{n-1}$で表せ.
(3) $c_n=\alpha_n-\beta_n$とおいて$c_n$の一般項を求めよ.
(4) $\alpha_n$の一般項を求めよ.
(1) $\alpha_2,\ \beta_2,\ \alpha_2+3 \beta_2,\ \alpha_3,\ \beta_3,\ \alpha_3+3 \beta_3$を求めよ.
(2) $n \geqq 1$に対し$\alpha_n,\ \beta_n$を$\alpha_{n-1},\ \beta_{n-1}$で表せ.
(3) $c_n=\alpha_n-\beta_n$とおいて$c_n$の一般項を求めよ.
(4) $\alpha_n$の一般項を求めよ.
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