明治大学
2015年 総合数理 第3問
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自然数$a$の正の約数の中で$a$以外のものの和が$a$に等しいとき,$a$を完全数という.以下の問いに答えよ.
(1) 次の$\fbox{}$にあてはまるものを記入せよ.
$28$の正の約数の中で$28$以外のものをすべて書きあげると$\fbox{}$であるから,$28$は完全数である.
(2) 自然数$n$と素数$p$に対して,$2^{n-1}p$のすべての正の約数の和を$n$と$p$で表せ.ただし$p \neq 2$とする.
(3) $n$は$2^n-1$が素数であるような自然数とする.このとき,$2^{n-1}(2^n-1)$が完全数であることを示せ.
(4) $a$が偶数で完全数ならば,ある自然数$n$に対して$a=2^{n-1}(2^n-1)$と表されることを示せ.
(1) 次の$\fbox{}$にあてはまるものを記入せよ.
$28$の正の約数の中で$28$以外のものをすべて書きあげると$\fbox{}$であるから,$28$は完全数である.
(2) 自然数$n$と素数$p$に対して,$2^{n-1}p$のすべての正の約数の和を$n$と$p$で表せ.ただし$p \neq 2$とする.
(3) $n$は$2^n-1$が素数であるような自然数とする.このとき,$2^{n-1}(2^n-1)$が完全数であることを示せ.
(4) $a$が偶数で完全数ならば,ある自然数$n$に対して$a=2^{n-1}(2^n-1)$と表されることを示せ.
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