横浜国立大学
2016年 理工 第3問
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![四面体OABCがあり,ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとする.三角形ABCの重心をGとする.点D,E,PをベクトルOD=2ベクトルb,ベクトルOE=3ベクトルc,ベクトルOP=6ベクトルOGをみたす点とし,平面ADEと直線OPの交点をQとする.次の問いに答えよ.(1)ベクトルOQをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ.(2)三角形ADEの面積をS_1,三角形QDEの面積をS_2とするとき,\frac{S_2}{S_1}を求めよ.(3)四面体OADEの体積をV_1,四面体PQDEの体積をV_2とするとき,\frac{V_2}{V_1}を求めよ.](./thumb/306/2009/2016_3.png)
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四面体$\mathrm{OABC}$があり,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする.三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする.点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=2 \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=3 \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=6 \overrightarrow{\mathrm{OG}}$をみたす点とし,平面$\mathrm{ADE}$と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.次の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) 三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$,三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.
(3) 四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$,四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき,$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) 三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$,三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.
(3) 四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$,四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき,$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ.
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