浜松医科大学
2014年 医学部 第2問
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関数$\displaystyle f(x)=\frac{3 \sqrt{3}}{\sin x}-\frac{1}{\cos x} \ \ \left( 0<|x|<\frac{\pi}{2} \right)$を考える.以下の問いに答えよ.
(1) $y=f(x)$の増減表を作成し,極値を求めよ.
(2) $f(x)$の第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$は,$3$次式$P(t)=t(2t^2-1)$を用いて, \[ f^{\prime\prime}(x)=3 \sqrt{3} P \left( \frac{1}{\sin x} \right)-P \left( \frac{1}{\cos x} \right) \] と表されることを示せ.また,$\displaystyle 0<x_1<x_2<\frac{\pi}{2}$のとき$f^{\prime\prime}(x_1)>f^{\prime\prime}(x_2)$となることを示せ.
(3) $k$を定数とするとき,方程式$f(x)=k$の異なる実数解は何個あるか.$k$の値によって分類せよ.
(4) $y=f(x)$の変曲点はただ$1$つ存在することを示せ.また,この変曲点が第何象限にあるか,調べよ.
(1) $y=f(x)$の増減表を作成し,極値を求めよ.
(2) $f(x)$の第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$は,$3$次式$P(t)=t(2t^2-1)$を用いて, \[ f^{\prime\prime}(x)=3 \sqrt{3} P \left( \frac{1}{\sin x} \right)-P \left( \frac{1}{\cos x} \right) \] と表されることを示せ.また,$\displaystyle 0<x_1<x_2<\frac{\pi}{2}$のとき$f^{\prime\prime}(x_1)>f^{\prime\prime}(x_2)$となることを示せ.
(3) $k$を定数とするとき,方程式$f(x)=k$の異なる実数解は何個あるか.$k$の値によって分類せよ.
(4) $y=f(x)$の変曲点はただ$1$つ存在することを示せ.また,この変曲点が第何象限にあるか,調べよ.
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