九州大学
2013年 理系 第5問
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![実数x,y,tに対して,行列A=(\begin{array}{cc}x&y\-t-x&-x\end{array}),B=(\begin{array}{rr}5&4\-6&-5\end{array})を考える.(AB)^2が対角行列,すなわち(\begin{array}{cc}α&0\0&β\end{array})の形の行列であるとする.(1)命題「3x-3y-2t≠0⇒A=tB」を証明せよ.以下(2),(3),(4)では,さらにA^2≠EかつA^4=Eであるとする.ただし,Eは単位行列を表す.(2)3x-3y-2t=0を示せ.(3)xとyをそれぞれtの式で表せ.(4)x,y,tが整数のとき,行列Aを求めよ.](./thumb/677/1102/2013_5.png)
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実数$x,\ y,\ t$に対して,行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
x & y \\
-t-x & -x
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{rr}
5 & 4 \\
-6 & -5
\end{array} \right) \]
を考える.$(AB)^2$が対角行列,すなわち$\left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right)$の形の行列であるとする.
(1) 命題「$3x-3y-2t \neq 0 \ \Longrightarrow \ A=tB$」を証明せよ.
以下(2),(3),(4)では,さらに$A^2 \neq E$かつ$A^4=E$であるとする.ただし,$E$は単位行列を表す.
(2) $3x-3y-2t=0$を示せ.
(3) $x$と$y$をそれぞれ$t$の式で表せ.
(4) $x,\ y,\ t$が整数のとき,行列$A$を求めよ.
(1) 命題「$3x-3y-2t \neq 0 \ \Longrightarrow \ A=tB$」を証明せよ.
以下(2),(3),(4)では,さらに$A^2 \neq E$かつ$A^4=E$であるとする.ただし,$E$は単位行列を表す.
(2) $3x-3y-2t=0$を示せ.
(3) $x$と$y$をそれぞれ$t$の式で表せ.
(4) $x,\ y,\ t$が整数のとき,行列$A$を求めよ.
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コメント(2件)
![]() 作りました。(1)から既に難しめです。その割には(3)までできると、(4)の整数問題は簡単です。(3)までできた人へのボーナス得点みたいなものでしょうか。新課程の受験生は範囲外です。 |
![]() 解答解説よろしくお願いします |
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