京都府立大学
2010年 生命環境(環境・情報) 第4問
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![Aを成分が実数である2次の正方行列,Eを2次の単位行列とする.数列{a_n}を漸化式a_1=1,a_{n+1}=a_n+2^n,(n=1,2,・・・)によって定める.b_n=Σ_{k=1}^na_kとおく.また,座標平面上の点P_n(x_n,y_n)を\biggl(\begin{array}{c}x_1\\y_1\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\biggr),\biggl(\begin{array}{c}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{array}\biggr)=A^{b_n}\biggl(\begin{array}{c}x_1\\y_1\end{array}\biggr),(n=1,2,・・・)によって定める.以下の問いに答えよ.(1)数列{b_n}の一般項を求めよ.(2)Aは√2A^2=(1+√3)A-√2Eを満たすとする.Aの逆行列A^{-1}が存在することを示せ.(3)(2),かつ,x_2=\sqrt{1/2},y_2=\sqrt{3/2}のとき,x_3,y_3を求めよ.ただし,A^{-1}が存在することを証明なしに用いてよい.(4)(3)のとき,x_{n+1}=x_1,y_{n+1}=y_1となる最小の自然数nを求めよ.](./thumb/476/2692/2010_4.png)
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$A$を成分が実数である2次の正方行列,$E$を2次の単位行列とする.数列$\{a_n\}$を漸化式
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+2^n,\quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定める.$\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく.また,座標平面上の点P$_n(x_n,\ y_n)$を
\[ \biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr),\quad \biggl( \begin{array}{c}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array} \biggr)=A^{b_n}\biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr),\quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定める.以下の問いに答えよ.
(1) 数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ.
(2) $A$は$\sqrt{2}A^2=(1+\sqrt{3})A-\sqrt{2}E$を満たすとする.$A$の逆行列$A^{-1}$が存在することを示せ.
(3) (2),かつ,$\displaystyle x_2=\sqrt{\frac{1}{2}},\ y_2=\sqrt{\frac{3}{2}}$のとき,$x_3,\ y_3$を求めよ.ただし,$A^{-1}$が存在することを証明なしに用いてよい.
(4) (3)のとき,$x_{n+1}=x_1,\ y_{n+1}=y_1$となる最小の自然数$n$を求めよ.
(1) 数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ.
(2) $A$は$\sqrt{2}A^2=(1+\sqrt{3})A-\sqrt{2}E$を満たすとする.$A$の逆行列$A^{-1}$が存在することを示せ.
(3) (2),かつ,$\displaystyle x_2=\sqrt{\frac{1}{2}},\ y_2=\sqrt{\frac{3}{2}}$のとき,$x_3,\ y_3$を求めよ.ただし,$A^{-1}$が存在することを証明なしに用いてよい.
(4) (3)のとき,$x_{n+1}=x_1,\ y_{n+1}=y_1$となる最小の自然数$n$を求めよ.
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