広島市立大学
2015年 理系 第4問
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![1辺の長さが1である正四面体OABCにおいて,OAを3:1に内分する点をP,ABを2:1に内分する点をQ,BCを1:2に内分する点をR,OCを2:1に内分する点をSとする.ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとおくとき,以下の問いに答えよ.(1)内積ベクトルa・ベクトルb,ベクトルb・ベクトルc,ベクトルc・ベクトルaをそれぞれ求めよ.(2)ベクトルPRおよびベクトルQSをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ.(3)ベクトルPRとベクトルQSのなす角をθとするとき,θは鋭角,直角,鈍角のいずれであるかを調べよ.(4)線分PRと線分QSは交点をもつかどうかを調べよ.](./thumb/632/2825/2015_4.png)
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$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において,$\mathrm{OA}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$,$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$,$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{R}$,$\mathrm{OC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{S}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき,以下の問いに答えよ.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$をそれぞれ求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{PR}}$および$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{PR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\theta$は鋭角,直角,鈍角のいずれであるかを調べよ.
(4) 線分$\mathrm{PR}$と線分$\mathrm{QS}$は交点をもつかどうかを調べよ.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$をそれぞれ求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{PR}}$および$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{PR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\theta$は鋭角,直角,鈍角のいずれであるかを調べよ.
(4) 線分$\mathrm{PR}$と線分$\mathrm{QS}$は交点をもつかどうかを調べよ.
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コメント(3件)
![]() なるほどー。 背理法まではいけたのですが、後の計算部分で、文字が2個で消せないなと思い、断念しました。 |
![]() (3)は内積が正だと鋭角、0だと直角、負だと鈍角になることを用いて調べましょう。(4)はそれぞれの線分上に点があるときの条件を作って、「それらが同時に成り立つことはない」を示しましょう。 |
![]() ④解説お願いします。 |
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